Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
Table of Contents
- Volumen de Sólidos
- Volumen Esfera
- Sección transversal de una esfera
- Longitud de Curva
- Aproximación de la longitud de una curva
- Longitud de Curva
- Superficie de un Sólido de Revolución
- Área de un sólido de revolución
- Área de Dirigible
Volumen Esfera
Cálculo del volumen de una esfera por aproximación
[size=100][size=150]Por medio de las sumas de Riemman pudimos aproximar el área bajo una curva, ahora calcularemos el volumen de una esfera rotando rectángulos circunscritos a una circunferencia sobre el eje X.[br][br][/size][/size]Nota: la esfera se genero al rotar la función f(x) sobre el eje X, se trata de un circunferencia con centro en el origen y radio=1. [math]f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}[/math]
[size=150]La lista l2 presenta valores de [math]\left(x_i,f\left(x_i\right)\right)[/math].[br][br]Podemos relacionar el valor de [math]f\left(x_i\right)[/math] con el radio de los cilindros que se generarán al rotar la región generada al rotar cada uno de los rectángulos circunscritos.[br][br]Calcule el volumen aproximado de la esfera cuando n=7 (note que con n=7 solo se observan 5 rectángulos ya que el primero y el último tienen altura =0).[/size]
¿Cuál es el volumen aproximado de la esfera con n=7?
Aproximación de la longitud de una curva
¿Cuál es la distancia recorrida?
Supón que una partícula se mueve sobre la trayectoria definida por la curva [math]y=f\left(x\right)[/math],desde un punto inicial con coordenadas [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math]hasta un punto final [math]\left(b,f\left(b\right)\right)[/math].[br][br]Para responder la pregunta anterior, considera una partición del intervalo [math]\left(a,b\right)[/math] en [math]n[/math] pequeños subintervalos [math]\left(a=0,x_1\right),\left(x_1,x_2\right),..,\left(x_{n-1},x_{n=b}\right)[/math]. Observa que la distancia del punto [math]\left(x_i,f\left(x_1\right)\right)[/math] al punto [math]\left(x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right)[/math] aproxima la longitud de la curva entre esos dos puntos, y cuanto más pequeña sea la longitud del intervalo [math]\left(x_1,x_{i+1}\right)[/math], mejor será la aproximación.[br][br]Sumando las longitudes de todos los segmentos rectilíneos, obtenemos una aproximación para la longitud total de la curva:[br][br][math]L\cong\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i[/math][br][br]Longitud de la curva [math]y=f\left(x\right)[/math] desde [math]x=a[/math] hasta [math]x=b[/math][br][br][br][math]L=\int^b_a\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i[/math][br][br]
Área de un sólido de revolución
[size=150]Se desea calcular el material necesario para la construcción de la bolsa de gas de un dirigible.[br][br]En el applet se proporciona la función f(x) que se giró al rededor del Eje X, la derivada [math]f´\left(x\right)[/math] y la integral necesaria para el cálculo de la superficie.[/size]
¿Cuál es la superficie de la bolsa de gas del dirigible?