[size=200][b]IX. Anhang[/b][br]Längenberechnung an der Parabel[/size]

Für die Länge des Graphen einer Funktion über dem Intervall [a,b], in dem die Funktion stetig differenzierbar ist, gilt die Formel[br][math]l_{[a,b]}=\int\limits_a^b{\sqrt{1+f'(x)^2}}\,\mathrm{d}x[/math][br]Wir betrachten hier nur Parabeln, die symmetrisch zur y-Achse sind, die also mit der Funktionsgleichung[br][math]f(x)=\alpha\cdot x^2 + \gamma[/math][br]dargestellt werden können.[br]Dann ist [br][math]f'(x)=2\,\alpha\cdot x[/math][br]und [br][math][br]{\rm I}\quad\quad\quad[br]l_{[a,b]}=\int\limits_a^b{\sqrt{1+(2\, \alpha x)^2}}\,\mathrm{d}x[br][/math][br]Bei diesem Integral ist es nicht ganz einfach, für die Berechnung eine Stammfunktion zu finden.

Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion für das einfachere Integral[math][br]\int{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x[br][/math]:[br][math]\begin{align}[br] \int{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x[br] &=[br] \textcolor{blue}[br] {\int{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x} [br] + [br] \textcolor{red}[br] {\int{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x }[br]\end{align}[br][/math][br]Bei dem ersten Integral auf der rechten Seite (blau) wird die [i]partielle Integration[/i] angewendet,[br]beim zweiten Integral (rot) wird mit [math]\sqrt{1+x^2}[/math] erweitert:[br][math]\begin{align}[br] \int{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x[br] &=[br] \textcolor{blue}[br] {\frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+x^2} - \int{\frac{1}{2}\, x \cdot \frac{2x}{2\,\sqrt{1+x^2}}}\,\mathrm{d}x}[br] +[br] \textcolor{red} [br] {\int{\frac{1}{2}\cdot\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}}\,\mathrm{d}x}[br]\\ % **** Ende Zeile 1 ****[br] &=[br] \frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+x^2} \; - \int{\frac{x^2}{2\cdot\sqrt{1+x^2}}}\,\mathrm{d}x[br] \;+\;[br] \int{\frac{1+x^2}{2\cdot\sqrt{1+x^2}}}\,\mathrm{d}x[br]\\ % **** Ende Zeile 2 ****[br] &=[br] \frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+x^2} [br] \; +[br] \int{[br] \left( [br] \frac{-x^2}{2\cdot\sqrt{1+x^2}}[br] \;+\; [br] \frac{1+x^2}{2\cdot\sqrt{1+x^2}}[br] \right)}[br] \,\mathrm{d}x[br]\\ % **** Ende Zeile 3 ****[br] &=[br] \frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+x^2} [br] \; +[br] \int{[br] \left( [br] \frac{1}{2\cdot\sqrt{1+x^2}}[br] \right)}[br] \,\mathrm{d}x[br]\\ % **** Ende Zeile 4 ****[br] &=[br] \frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+x^2} [br] \; +[br] \frac{1}{2}\,[br] \int{[br] \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[br]}[br] \,\mathrm{d}x[br][br]\\ % **** Ende Zeile 5 ****[br] &=[br] \frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+x^2} [br] \; +[br] \frac{1}{2}\cdot[br] \sinh^ {-1}(x) + C[br]\end{align}[br][/math][br]Für das Integral [math]\int{\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2}}[/math] in Gleichung I wird die [i]Substitutionsregel[/i] angewendet, und zwar mit[br][math]x=\varphi(t)=\frac{1}{2\alpha}\cdot t[/math], [math]\varphi'(t)=\frac{1}{2\alpha}[/math] und [math]t = \varphi^{-1}(x)= 2 \alpha\cdot x[/math]:[br][math][br]\begin{align}[br]\int{\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2}}\mathrm{d}x[br]&= \int{\sqrt{1 + \left(2\alpha\cdot\frac{t}{2\alpha}\right)^2}\;\cdot\frac{1}{2\alpha}}\mathrm{d}t \\[br]&=\frac{1}{2\alpha}\cdot \int{\sqrt{1 + t^2}}\,\mathrm{d}t \\[br]&=\frac{1}{2\alpha}\cdot\left(\frac{1}{2}\, t\cdot\sqrt{1+t^2} \; + \frac{1}{2}\cdot \sinh^ {-1}(t) + C\right)\\[br]&=\frac{1}{4\alpha}\, t\cdot\sqrt{1+t^2} \; + \frac{1}{4\alpha}\cdot \sinh^ {-1}(t) + \frac{C}{2\alpha}\\[br]&=\frac{1}{4\alpha}\, (2\alpha\,x)\cdot\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2} \; + \frac{1}{4\alpha}\cdot \sinh^ {-1}(2\alpha\,x)+ \frac{C}{2\alpha}\\[br]&=\frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2} \; + \frac{1}{4\alpha}\cdot \sinh^ {-1}(2\alpha\,x)+C_1\\[br]\end{align}[br][/math][br][size=85]Anmerkung:[br]GeoGebra verwendet als Stammfunktion zu [math]\small{f(x)=\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2}}[/math] die Funktion [br][math]\small{F(x)=\frac{1}{2}\, x \,\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2}\;-\; \frac{1}{4\alpha}\cdot \ln\left(\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2}\,-\,2\alpha\,x\right) + C}[/math]. [br]Auf die Gleichheit [math]\small{\sinh^{-1}(x)=-\ln(\sqrt{1+x^2}-x)=\ln(x + \sqrt{1+x^2})}[/math] wird hier nicht eingegangen.[br]Die Logarithmusfunktion ist z.B. dann nützlich, wenn auf einem Taschenrechner [math]\sinh(x)[/math] nicht verfügbar, aber [math]\ln(x)[/math] vorhanden ist. [br][/size][br]

Für die Länge des Parabelabschnitts gilt dann[br][math][br]\begin{align}[br]l_{[a,b]}[br]&=\int\limits_a^b{\sqrt{1+(2\, \alpha x)^2}}\,\mathrm{d}x \\[br]l_{[a,b]}[br]&=\left[[br] \frac{1}{2}\, x\cdot\sqrt{1+(2\alpha\,x)^2} \; + \frac{1}{4\alpha}\cdot \sinh^ {-1}(2\alpha\,x)[br]\right]_a^b\\[br]\end{align}[br][/math][br]Bei einem symmetrischen Abschnitt ergibt sich[br][math][br]\begin{align}[br]l_{[a,b]}[br]&=\int\limits_a^b{\sqrt{1+(2\, \alpha x)^2}}\,\mathrm{d}x \\[br]l_{[-c,c]}[br]&=2\cdot\left([br] \frac{1}{2}\, c\cdot\sqrt{1+(2\alpha\,c)^2} \; + \frac{1}{4\alpha}\cdot \sinh^ {-1}(2\alpha\,c)[br]\right)\\[br]&=[br] c\cdot\sqrt{1+(2\alpha\,c)^2} \; + \frac{1}{2\alpha}\cdot \sinh^ {-1}(2\alpha\,c)[br]\\[br]\end{align}[br][/math][br]