Il [b]Teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien[/b] (Wallace, 1806-1807(?)) e' un teorema di geometria euclidea dimostrato indipendentemente da William Wallace, Farkas Bolyai e Paul Gerwien.
Afferma che [i]due poligoni aventi la stessa area sono sempre equiscomponibili[/i]: e' possibile tagliare il primo in un numero [i]finito[/i] di poligoni piu' piccoli che, riarrangiati in modo diverso, formano il secondo.
La strategia della dimostrazione e' la seguente. Si osserva per prima cosa che [i]se due poligoni sono equiscomponibili con una terza figura comune, lo sono anche tra di loro[/i] (l'equiscomponibilita' e' una relazione di equivalenza). Si dimostra quindi che [i]un qualsiasi poligono e' equiscomponibile con un rettangolo avente una delle dimensioni di lunghezza fissa, per esempio pari a [math]1[/math][/i].
Siccome (a) ogni poligono e' scomponibile in un numero finito di triangoli e (b) piu' rettangoli di base [math]1[/math] possono essere impilati a formare un rettangolo piu' grande, ancora con una delle dimensioni uguale a [math]1[/math], [i]e' sufficiente dimostrare l'ultimo risultato per i triangoli.[/i]
I fogli geogebra illustrano i vari passi della dimostrazione: [list]
[1] L'equiscomponibilità è transitiva: se due poligoni sono equiscomponibili con un terzo poligono comune, lo sono anche tra loro.
[2] Un triangolo e' equiscomponibile con rettangolo.
[3] Il rettangolo è equiscomponibile con un altro che ha uno dei lati compresi tra [math]\frac{1}{2}[/math] e [math]1[/math]. Se nessuno dei due lati del rettangolo avesse questa proprietà, possiamo decomporlo e riassemblarlo in modo da renderla vera. Infatti, se lo suddividiamo tagliando a metà uno dei lati e poi accostiamo le due parti, otteniamo un rettangolo che ha un lato dimezzato e l'altro raddoppiato. Ripetendo una o più volte questa operazione otteniamo la proprietà voluta.
[4] Infine, un rettangolo avente uno dei lati compreso tra [math]\frac{1}{2}[/math] e [math]1[/math] e' equiscomponibile con un rettangolo avente un lato uguale a [math]1[/math]
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L'analogo tridimensionale del teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien e' falso: due poliedri aventi lo stesso volume non sono necessariamente equiscomponibili in poliedri piu' piccoli.
Infatti, in risposta al [i]terzo problema di Hilbert (1900)[/i], Max Dehn dimostro' nel 1901 che un cubo e un tetraedro regolare aventi lo stesso volume [i]non[/i] sono equiscomponibili.
