La distancia entre dos planos [math]Π_1[/math] y [math]Π_2[/math] (conjunto de puntos de dimensión 2 con una relación de dependencia lineal) se define como:
[math]d(Π_1,Π_2 ):=\inf \{d(P,Q): P\in Π_1,Q \in Π_2\}[/math]
Siempre que [math]Π_1[/math], [math]Π_2[/math] sean paralelos. Donde [math]d(P,Q)[/math] denota la distancia euclídea entre puntos de [math]\mathbb{R}^3[/math]
¿Por qué se pide que sean paralelos los planos? Para que la definición sea compatible con la intuición de distancia: Pues observemos que en tres dimensiones dos planos no coincidentes y no paralelos se cortan. En efecto, por la fórmula de la dimensión
[math]\dim(Π_1\cup Π_2 )=\dim(Π_1 )+\dim(Π_2 )-\dim(Π_1 \cap Π_2 ) ⇒ 3=2+2-\dim(Π_1\cap Π_2 ) ⇒ \dim(Π_1∩Π_2 )=1[/math]
En este caso [math]d(Π_1,Π_2 )=0[/math] lo cual es contradictorio con nuestra intuición: pues esperamos que la distancia sea cero cuando coincidan y ¡no cuando se corten!
Todo lo anterior justifica porqué se define la distancia solo entre planos paralelos. La definición formal es poco práctica y operativa para calcular distancias entre planos con ella. Lo que se hace es algo equivalente: En el entendido que [math]Π_1[/math], [math]Π_2[/math] son planos paralelos, se escoge [math](x_0,y_0,z_0 )=:P\in Π_2[/math] y se calcula la distancia de un punto a un plano:
[math]d(P,Π_2 )=\frac{|a x_0+b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/math] donde [math]Π_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: a x+b y+c z+d=0\}[/math]
Otra posibilidad es observar que el la recta [math]\ell:=\{λ(a,b,c)\in \mathbb{R}^3:λ \in\mathbb{R} \}[/math] es perpendicular a [math]Π_1[/math], [math]Π_2[/math] entonces [math]\#(Π_1\cap \ell)=\#(Π_2\cap \ell)=1[/math], así sea [math]P \in Π_1\cap \ell[/math] y [math]Q\in Π_2\cap \ell[/math]. Entonces
[math]d(Π_1,Π_2 )=d(P,Q)[/math]
Donde [math]d(P,Q)[/math] denota la distancia euclídea entre puntos de [math]\mathbb{R}^3[/math].
