Derivata prima in un punto e ....
Nella seguente immagine animata sono riprodotti i passaggi costruttivi della derivata prima in un punto P.
Con questa costruzione si vuole evidenziare come, fissati due punti P e Q, una funzione possa essere "approssimata" sull'intervallo [xP, xQ] dalla retta passante per i due punti o più precisamente dalla corda PQ, infatti la funzione cresce o decresce esattamente come la corda che la sottende. Quindi conoscendo la pendenza della corda si può stabilire la crescita-decrescita della funzione.
L'approssimazione è tanto più precisa quanto minore è la distanza tra i due punti. Perciò avvicinando Q a P, ovvero facendo tendere a zero la distanza fra i due punti, si assiste ad una progressiva riduzione della lunghezza della corda (che diventa sempre più aderente al grafico) sino alla sua trasformazione in tangente al grafico di f(x) nel punto P e conseguentemente la pendenza della corda diventa pendenza della tangente.
In questo modo ad ogni punto P, genericamente scelto sul grafico della funzione, è possibile associare il coefficiente di pendenza (coefficiente angolare) della tangente e quindi segnalare qual è "l'intenzione di variazione" della funzione (crescita - stazionarietà - decrescita) in quel determinato punto.
Questo valore è noto come DERIVATA PRIMA IN UN PUNTO e viene indicato con f '(xP).
