El hexaedro poligonal estrellado perfecto representa, el primero, de los poliedros poligonales estrellado perfectos. Sus parámetros y constantes se definen rigorosamente a continuación:
El hexaedro poligonal estrellado perfecto carece de cara física y por lo tanto C = 0.
El hexaedro poligonal estrellado perfecto posee seis caras poligonales imaginarias intermedias interiores equiláteras uniformes. Tiene ochos aristas intermedias interiores equiláteras uniformes, las cuales al juntarse en cada uno de los vértices poliédricos intermedios interiores uniformes, forman tres ángulos intermedios interiores uniformes de 90° Grados sexagesimales y todas sus aristas intermedias interiores uniforme no pueden ser colocadas en un plano si ser interceptada con las arista exteriores uniformes. Cada uno de los vértices poliédrico intermedios es común tres aristas intermedias interiores uniformes + a tres arista exteriores uniforme, para un total de seis aristas totales, las cuales son comunes a cada uno de los ochos vértices poliédricos intermedios interiores uniformes. Es común a tres ángulos de 90° grados sexagesimales intermedios interiores uniformes + seis ángulos poligonales exteriores uniformes que miden 60° grados sexagesimales. Es común a tres caras imaginarias cuadradas intermedias interiores uniformes y a seis caras triangulares imaginarias exteriores uniformes. Posee 24 caras poligonales imaginarias exteriores, equiláteras y uniformes entre sí. Posee 24 aristas poligonales exteriores uniformes. Tiene 6 vértices exteriores poliédricos uniformes y cada uno de los vértices poliédricos exteriores uniformes son comunes a cuatros aristas poliédricas exteriores uniformes.
Posee ángulos poliédricos intermedios interiores que miden cada uno de ellos 270° grados sexagesimales. Tiene 24 ángulos diedricos mayores que miden 160.5287793655093° grados sexagesimales cada uno + posee 24 ángulos diedricos exteriores que miden 109.47122063449069°.
El hexaedro poligonal perfecto estrellado, posee 6 vértices poliédricos exteriores uniformes entre sí, donde cada uno de los vértices poliédrico es común a cuatros aristas, los cuales están definidos por el par poliédrico: cVé (m, w) = 6Vé (4, w).
6Vé (4, w)= Seis vértices poliédricos exteriores uniformes, donde se juntan en cada uno de los vértices poliédricos exteriores uniformes cuatro aristas exteriores uniforme de w longitud de medida.
El hexaedro poligonal perfecto estrellado, posee 8 vértices poliédricos intermedios interiores uniformes entre sí, donde cada uno de los vértices poliédrico es común a tres aristas intermedia interiores uniformes + tres aristas exteriores uniforme, que suman un total de seis aristas uniformes totales que son comunes a cada uno de los ocho vértices poliédricos intermedios interiores uniformes, los cuales están definidos por el par poliédrico: cVí (m, w) = 8Ví (6, w).
8V (6, w) = ochos vértices poliédricos intermedios interiores uniformes, donde se juntan en cada uno de los vértices poliédricos intermedios interiores uniformes, seis aristas totales uniforme de w longitud de medida.
El hexaedro poligonal perfecto estrellado posee dos distancias centrales (Dc) totalmente diferentes, pero ambas distancias centrales poseen dos distintas constante; la constante menor es K1, que representa la contante de un hexaedro perfecto convexo K1= 0.866025403784439 y K2 representa la constante del poliedro dual del hexaedro perfecto convexo, el cual es el octaedro perfecto convexo k2 = 0.707106781186547606 la constante U1 =1.154700538379251058 y U2 = 1.414213562373094885603. Este politopo tridimensional posee cuatro distancias centrales mayores, las cuales están determinadas desde el punto de origen de poliedro poligonal L = (0, 0, 0), hasta Cada uno de los vértices poliédrico poligonales exteriores + cuatros distancias centrales menores las cuales están determinadas desde el punto de origen de poliedro poligonal L = (0, 0, 0), hasta Cada uno de los ochos vértices poliédrico poligonales intermedios interiores uniformes que en este caso son [(A = (0.5 Cm, 0.5 Cm, 0.5 Cm), B = (0.5 Cm, -0.5 Cm, 0.5 Cm), C = (-0.5 Cm, -0.5 Cm, 0.5 Cm), D = (-0.5 Cm, 0.5 Cm, 0.5 Cm), E = (0.5 Cm, 0.5 Cm, -0.5 Cm), F = (0.5 Cm, -0.5 Cm, -0.5 Cm), G = (-0.5 Cm, -0.5 Cm, -0.5 Cm), H = (-0.5 Cm, 0.5 Cm, -0.5 Cm)) = (A, B, C, D, E, F, G, H)] y con los ocho vértices poliédrico poligonales intermedio interiores uniformes, queda definido totalmente un hexaedro poligonal imaginario perfecto convexo.
. Con los seis vértices exteriores del hexaedro poligonal perfecto estrellado, que en este caso son [(I = (0, 0, -1.207106781186548 Cm), J = (0, 0, 1.207106781186548 Cm), K = (0, 1.207106781186548 Cm, 0), M = (0 Cm, -1.207106781186548 Cm, 0 Cm), N = (1.207106781186548 Cm, 0 Cm, 0 Cm), O = (-1.207106781186548 Cm, 0 Cm, 0 Cm)) = (I, J, K, M, N, O))] queda definido exactamente un octaedro poligonal imaginario perfecto convexo.
Observemos, estos son el conjunto de tríos ordenados (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, M, N, O) con lo que formamos o construimos el hexaedro poligonal perfecto estrellado:
A = (0.5 Cm, 0.5 Cm, 0.5 Cm)
B = (0.5 Cm, -0.5 Cm, 0.5 Cm)
C = (-0.5 Cm, -0.5 Cm, 0.5 Cm)
D = (-0.5 Cm, 0.5 Cm, 0.5 Cm)
E = (0.5 Cm, 0.5 Cm, -0.5 Cm)
F = (0.5 Cm, -0.5 Cm, -0.5 Cm)
G = (-0.5 Cm, -0.5 Cm, -0.5 Cm)
H = (-0.5 Cm, 0.5 Cm, -0.5 Cm)
I = (0, 0, -1.207106781186548 Cm)
J = (0, 0, 1.207106781186548 Cm)
K = (0, 1.207106781186548 Cm, 0)
L = (0, 0, 0)
M = (0 Cm, -1.207106781186548 Cm, 0 Cm)
N = (1.207106781186548 Cm, 0 Cm, 0 Cm)
O = (-1.207106781186548 Cm, 0 Cm, 0 Cm)
La distancias central menor queda definida por los vértices poliédricos: A, B, C, D, E, F, G, H y el punto de origen L = (0, 0, 0) que representa el punto de partida para medir la distancia central. (Dc) existe, desde el punto (L= (0, 0, 0) hasta uno de los ocho vértices que forman el hexaedro poligonal perfecto intermedio. Estos ocho tríos ordenados muestran los vértices que forman el hexaedro poligonal perfecto intermedio interior, que representa el poliedro de partida de la estelación estrellada del hexaedro perfecto.
A = (0.5Cm, 0.5 Cm, 0.5 Cm), B = (0.5 Cm, -0.5 Cm, 0.5 Cm), C = (-0.5 Cm, -0.5 Cm, 0.5 Cm), D = (-0.5 Cm, 0.5 Cm, 0.5 Cm), E = (0.5 Cm, 0.5 Cm, -0.5 Cm), F = (0.5 Cm, -0.5 Cm, -0.5 Cm), G = (-0.5 Cm, -0.5 Cm, -0.5 Cm), H = (-0.5 Cm, 0.5 Cm, -0.5 Cm), L = (0, 0, 0).
Deduciremos la distancia central Dc, del punto F en forma analítica, cuya distancia central del punto F, es equivalente a cada una de las distancia centrales medida desde el punto de origen L = (0, 0, 0), hasta uno de los puntos (A, B, C, D, E, G, H).
Determinando Dc, con cada uno de los ocho tríos ordenados.
Dc = √(x^2+y^2+z^2 ), siendo el trio ordenado (x, y, z), seleccionando el punto F = (0.5 Cm, -0.5Cm, -0.5Cm) para determinar la distancia central.
Dc = √(〖(0.5 Cm)〗^2+〖(-0.5 Cm)〗^2+〖(-0.5 Cm)〗^2 )
Dc = 0.8660254037844386Cm.
Ahora vamos a determinar la longitud de la arista des este hexaedro poligonal perfecto intermedio interno. Dc = 0.8660254037844386Cm, K = 0.8660254037844386, w = ¿? Formula w = Dc/K = 0.8660254037844386Cm/0.8660254037844386 = 1Cm, w = 1Cm.
Como ya sabemos cuáles son las distancias centrales y la constante del poliedro de partida con la cual estamos realizando la estelación estrellada perfecta del Hexaedro poligonal perfecto estrellado. Ahora nos corresponde establecer la distancia central de cada una de la seis pirámides cuadradas de Johnson.
Como el poliedro de partida de la estelación, está compuesto por seis cuadrados uniforme y las aristas poseen una longitud de un centímetro. Entonces la pirámide cuadrada poligonal de Johnson posee una base cuadradas que miden un centímetro de longitud y sus caras laterales están compuestas por caras triangulares perfectas que miden un centímetro en cada una de sus aristas. Al ensamblar las seis caras cuadradas de la base de la pirámides cuadrada poligonal de Johnson, en la seis caras cuadradas del hexaedro poligonal perfecto intermedio, automáticamente hemos construido una estelación poligonal estrellada del hexaedro poligonal perfecto, cuyas caras poligonales imaginaria y aristas son uniformes y equiángulas y equiláteras.
Entonces Dc medida desde un vértices exterior a l punto de origen del hexaedro poligonal perfecto estrellado = a la suma de la altura de una de la seis pirámides cuadrada que forman el hexaedro poligonal perfecto intermedio + la altura de una de la seis pirámides de Johnson que forman la estelación del poliedro poligonal.
