Estos son los seis vértices que definen el octaedro regular:
A = (1, 0, 0), B = (-1, 0, 0), C = (0, 1,0), D = (0, -1,0), E = (0, 0, 1), F = (0, 0, -1), luego de realizar el octaedro regular, pasamos a describir las coordenadas de los puntos medios de cada una de sus caras.
Estos son los ochos puntos, que determinan el punto central de cada una de las ochos caras triangulares que posee el octaedro regular, o platónico: G = (0.333333333333333, 0.333333333333333, 0.333333333333333), H = (0.333333333333333, -0.333333333333333, 0.333333333333333), I = (-0.333333333333333, -0.333333333333333, 0.333333333333333), J = (-0.333333333333333, 0.333333333333333, 0.333333333333333), K = (0.333333333333333, 0.333333333333333, -0.333333333333333), L = (0.333333333333333, -0.333333333333333, -0.333333333333333), M = (-0.333333333333333, -0.333333333333333, -0.333333333333333), N = (-0.333333333333333, 0.333333333333333, -0.333333333333333)
Con estos ochos puntos, se determinan el dual convexo del octaedro platónico el cual es el cubo o hexaedro regular y también se determina el poliedro dual cóncavo el cual es el Cuboedro de Joel. Con estos ochos puntos podemos realizar una familia de poliedro cóncavos mixtos los cuales son poliedros duales del octaedro regular.
La séptima estelación del hexaedro está representada por el cuboedro de Joel. Este poliedro posee 24 caras interiores triangulares isósceles. Ostenta 6 vértices interiores y 8 vértices intermedios, para un total de 14 vértices. Además tiene 24 aristas interiores y 12 aristas intermedias, para un total de 36 aristas.
Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en el segundo miembro del bispar poliédrico (m, n) = (4, 3), aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación, AI = -2mn / 2m + 2n – mn = -2 (4) (3) / 2 (3) + 2 (3) -4 (3) = -24/2 = -12 entonces AI = - 12, satisface la ecuación. CI = 2AI / n = 2 (-12) / 3 = -8, C = -8, V = 2AI / m = 2 (-12) / 4 = -6, V = -6. Sustituyendo, m = 3, n =3, en el primer miembro del bispar poliédrico- (2m, n) = (2(3), 3) = -(6, 3), aplicando fórmulas y resolviendo Ai = 2AI = 2 (-12) = -24, Ai = -24, Ci= Ai = -24, Ci = -24, Vi = 2 (Ai/2m) = 2 (-24 /6) = 2 (-4) = -8, V = -8. Probando Dc: Experimentemos con el hexaedro regular (3, 4). Dc ≈ w(0.866), siendo w ˃ 0, w∈R entonces
w =4Cm entonces Dc= 4Cm(0.866) =3.464 Cm
Dc = 3.464Cm. Como 4 ˃ 3.46, entonces el hexaedro regular no genera ningún poliedro regular hueco porque Dc < A. El hexaedro regular genera interiormente un poliedro semirregular llamado el cuboedro de Joel – V (6, 3s) – V (4, 3s), que está compuesto por un conjunto de triángulos isósceles. En todas las aristas de este poliedro, comprobamos que “k” sí varía su resultado debido a que existen dos clases de aristas diferentes, por lo tanto, el cuboedro de Joel no es válido como poliedro regular.
