Die Funktion exp(-x)sin(3pi x)cos(3pi x)|sin(2pi x) soll auf dem Intervall [0;1] durch ein Polynom 2. Grades in der Maximumsnorm mit minimalem Abstand approximiert werden.
Es werden für ein Polynom 2. Grades n+2=2+2 = 4 Knoten benötigt. Die Startknoten sind die Nullstellen des Chebyshev-Polynoms T_4 im Intervall [0;1], also x_1, x_2, x_3, x_4.
Aus dem linearen linearen Gleichungssystem
f(x_i) = E^i + b_0 + b_1 x_i + b_2 x_i^2
wird das Polynom 1, P1(x)= b_0 + b_1x+b_2x^2, und E bestimmt.
Die Fehlerfunktion f(x)- P1(x) besitzt (mindestens) 3 Nullstellen n_1, n_2, n_3, mit x_1 < n_1 < x_2 < n_2 < x_3 < n_3 < x_4. In den Intervallen [0, n_1], [n_1, n_2], [n_2, n_3], [n_3, b] werden neue Knoten x_1^*, x_2^*, x_3^*, x_4^* dadurch gefunden, dass man eine Extremalstelle oder den Randpunkt mit größen Betrag des Funktionswertes nimmt. In diesen neuen Knoten bestimme man den Fehler E_i = f(x_i^*), liegen E_m= min |E_i| und E_M = max |E_i| nahe beieinander, dann endet der Algorithmus, ansonsten wird mit den neuen Knoten weiter gerechnet.
Im Beispiel ist das Abbruchkriterium bei den Knoten 4 erfüllt. Zur Kontrolle wurden aber trotzdem das Polynom 4 und der Fehler 4 bestimmt, die praktisch identisch zum Polynom 3 und dem Fehler 3 sind.
