Dieses GeoGebra-Applet bezieht sich auf folgenden Artikel: [br]Roth, J. (2008). [url=https://juergen-roth.de/veroeffentlichungen/2008/roth_2008_systematische_variation_eine_lernumgebung_vernetzt_geometrie_und_algebra.pdf]Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra[/url]. [i]Mathematik lehren, 146[/i], 17-21

[b][color=#cc0000][size=150]Erkundungsaufträge[/size][br][/color][br][color=#0000ff](1) Form erkunden − Begriffe bilden[/color][/b][br]Variiere mit Hilfe der Schieberegler für [b][color=#ff0000]a[/color][/b], [b][color=#0000ff]c[/color][/b] und [b][color=#008000]h[/color][/b] und durch Ziehen am Punkt [b][color=#ff0000]C[/color][/b] die Trapezform.[br][list][*]Welche Sonderfälle kannst du so herstellen?[/*][*]Was bedeutet das für die Beziehung zwischen den Viereckstypen?[/*][/list][br][b][color=#0000ff](2) Sinnvolle Termumformungen[/color][/b][br]Der Flächeninhalt des Trapezes ABCD kann über folgende Formel berechnet werden:[br][justify][img width=137,height=41]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/a_trapez.png[/img][br] [b]a)[/b] Wie lauten die entsprechenden Formeln für[br]  - ein Dreieck?[br]  - ein Parallelogramm?[br]  - ein Rechteck?[br]  - ein Quadrat?[/justify][b] [color=#cc0000]Hinweis:[/color][br] [/b]Die Formeln können notfalls im GeoGebra-Applet aufgerufen werden. Dazu muss das [br] Auswahlfeld [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_inaktiv.png[/img] [color=#6b00bf]Flächeninhalt[/color] angeklickt [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] und anschließend das gewünschte Viereck[br] ausgewählt [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] werden.[br][br] [b]b)[/b] Kannst du die Flächeninhaltsformel für das Trapez entsprechend umformen?[br]  [br] [b][color=#cc0000]Hinweis:[/color][br] [/b]Bei Problemen können dir die Ergebnisse aus "[b][color=#0000ff](1) Form erkunden − Begriffe bilden[/color][/b]"[br] evtl. weiterhelfen.[br][br][color=#0000ff][b](3) Grenzfälle untersuchen[/b] [/color][br]Die Variablen [b][color=#ff0000]a[/color][/b], [b][color=#0000ff]c[/color][/b] und [b][color=#008000]h[/color][/b] in der Flächeninhaltsformel [br][img width=137,height=41]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/a_trapez.png[/img] [br]des Trapezes ABCD bezeichnen jeweils Streckenlängen und können keine negativen Werte annehmen. [list][*]Was passiert im Grenzfall, wenn [b][color=#ff0000]a[/color][/b], [b][color=#0000ff]c[/color][/b] oder [b][color=#008000]h[/color][/b] gleich Null wird?[br][/*][/list][br][b][color=#0000ff](4) Formeln interpretieren[/color][/b][br]Wenn man den Term der Flächeninhaltsformel des Trapezes ABCD ausmultipliziert, dann ergibt sich [br](vgl. [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] Trapez [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] 1):[br][img width=297,height=41]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/a_trapez_ausmultipliziert.png[/img][br][list][*]Kannst du die ausmultiplizierte Formel geometrisch interpretieren?[/*][/list] [br][b][color=#0000ff](5) Funktionale Zusammenhänge entdecken[/color][br][/b]Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn die Höhe [color=#008000][b]h [/b][/color]von Null beginnend gleichmäßig vergrößert wird?[br][list][*]Wird er größer, wird er kleiner oder bleibt er gleich?[br][br][/*][*]Verändert er sich, genau wie die Höhe [b][color=#008000]h[/color][/b] auch gleichmäßig oder manchmal schneller und manchmal langsamer?[br][b][br][color=#cc0000]Hinweis:[/color][br][/b]Du kannst diese Frage z. B. mit Hilfe von geometrischen Überlegungen klären.[/*][/list][br]Gib den Punkt P([b][color=#38761d][b][color=#008000]h[/color][/b][/color][/b]|A) mit der Länge der Höhe [b][color=#008000]h[/color][/b] als x-Koordinate und dem Flächeninhalt [b]A[/b] des Trapezes ABCD als y-Koordinate über [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#6b00bf]Koordinaten[/color] [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#008000](h|A)[/color] aus und variiere [b][color=#008000]h[/color][/b] mit dem entsprechenden Schieberegler.[list][*]Was beobachtest du?[br][br][/*][*]Welcher funktionale Zusammenhang besteht also zwischen [color=#008000][b]h[/b] [/color]und dem Flächeninhalt [b]A[/b] des Trapezes?[br][b][br][color=#cc0000]Hinweis:[/color][br][/b]Du kannst den zugehörigen Funktionsgraph über [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#6b00bf]Koordinaten[/color] [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#008000]A(h)[/color] einblenden.[br][br][/*][*]Kannst du bei der Variation von h am Graphen besondere Eigenschaften des funktionalen Zusammenhangs entdecken?[br][br][/*][*]Überlege, warum gerade dieser funktionale Zusammenhang besteht.[br][b][br][color=#cc0000]Hinweis:[/color][br][/b]Du kannst das z. B. geometrisch begründen.[br][br][/*][*]Kannst du die Flächeninhaltsformel für das Trapez so umformen, dass du den entdeckten Funktionstyp anhand des Funktionsterms erkennst?[br][/*][/list] [br][b][color=#0000ff](6) Weitere Erkundungen zu funktionalen Zusammenhängen[/color][br][/b]Nun sollen [b][color=#ff0000]a [/color][/b]bzw. [b][color=#0000ff]c[/color][/b] variiert und die Funktionen [b]A([color=#ff0000]a[/color])[/b] bzw. [b]A([color=#0000ff]c[/color])[/b] betrachtet werden. [list][*]Was erwartest du, wie die Funktionsgraphen von [b]A([color=#ff0000]a[/color])[/b] und [b]A([color=#0000ff]c[/color]) [/b]verlaufen? Schreibe deine Vermutung zunächst auf![br][br][/*][*]Beantworte die Fragen aus dem Abschnitt "[b][color=#0000ff](5) Funktionale Zusammenhänge entdecken[/color][/b]" auch für die Funktionen [b]A([color=#ff0000]a[/color])[/b] und [b]A([color=#0000ff]c[/color]).[br][/b][br][/*][*]Waren deine Vorhersagen richtig? Weißt du jetzt, warum die Graphen so verlaufen, wie unter [br][img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#6b00bf]Koordinaten [/color] [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#ff0000]A(a)[/color] bzw. [img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/bilder/auswahlfeld_aktiv.png[/img] [color=#0000ff]A(c) [/color]dargestellt?[br][br][/*][*]Variiere nun die drei Größen mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Veränderungen an den Funktionsgraphen.[br]Kannst du deine Beobachtungen erklären?[br][/*][/list]