Elements d'Euclides

Ramon Nolla, Apr 20, 2014

Construccions i proposicions dels [i]Elements[/i] d'Euclides o relacionades.

Table of Contents

  1. Proposició I.2
    1. Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - I
    2. Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - II
    3. Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - III
  2. Proposició I.35
    1. Sobre àrees de paral·lelograms
  3. Teorema de Pitàgores. I.47
    1. Teorema de Pitàgores. 'Elements' d'Euclides, I.47
    2. Disecció d'un quadrat en dos quadrats iguals
    3. Disecció d'un quadrat en dos quadrats
  4. Construcció de l'arrel quadrada
    1. Construcció d'arrels quadrades. 'Elements' ii.4 i vi.13
  5. Equació de segon grau relacionada amb II.5 i VI.28
    1. Equació de segon grau. Anàlisi i síntesi geomètrica
  6. Secció àuria
    1. Proposició II.11 dels Elements d'Euclides
  7. Teorema del cosinus
    1. Teorema del cosinus. Euclides, Elements II-12/13

1.

Proposició I.2

  • 1. Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - I
  • 2. Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - II
  • 3. Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - III

1.1.

Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - I

Segons els [b]tres primers postulats[/b] dels [i]Elements[/i] d'Euclides, disposem per a la representació dels objectes geomètrics, d'un [b]regle[/b] que només serveix per traçar rectes i d'un [b]compàs[/b], el qual donat un punt B i un segment BC permet traçar la circumferència de centre B i radi BC. El regle no té marques i el compàs es tanca quan aixequem les puntes del paper, és a dir, no hi ha cap postulat que digui que es permet de traslladar segments. Podríem pensar que els postulats dels Elements no permeten utilitzar un compàs modern, el qual en aixecar les puntes del paper conserva la seva obertura i, per tant, permet traslladar segments. Però, la proposició I.2 dels Elements afirma el contrari, perquè permet construir un segment AK igual a un altre BC en qualsevol punt A del pla. En definitiva, si tenim un compàs euclidià o col·lapsable, amb l'ajut de I.2, podrem construir una circumferència de mateix radi i centre diferent que una anteriorment construïda i, consegüentment, [b]el compàs modern i l'euclidià són equivalents[/b]. Proposició I.2: http://goo.gl/UFVplL

Quines etapes hauríeu de seguir per construir un segment, igual a l'inicial, en una direcció determinada?
– Ramon Nolla

1.2.

–

1.3.

–

2.

Proposició I.35

  • 1. Sobre àrees de paral·lelograms

2.1.

Sobre àrees de paral·lelograms

[b]Proposició I.35[/b] dels [i]Elements [/i]d'Euclides. [br][i]Paral·lelograms que estan sobre la mateixa base i entre las mateixes paral·leles, tenen la mateixa àrea[/i][br][list][*][url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI35.html]Enllaç a la pàgina[/url] de David E. Joyce[br][/*][*](Podeu desplaçar el punt lliscant blau i els punts de color verd amb el ratolí)[br][/*][/list]
– Ramon Nolla

3.

Teorema de Pitàgores. I.47

  • 1. Teorema de Pitàgores. 'Elements' d'Euclides, I.47
  • 2. Disecció d'un quadrat en dos quadrats iguals
  • 3. Disecció d'un quadrat en dos quadrats

3.1.

Teorema de Pitàgores. 'Elements' d'Euclides, I.47

TEOREMA DE PITÀGORES[br]Presentació basada en la demostració del teorema I.47 dels Elements d'Euclides, en què no s'utilitza la semblança de triangles i s'aplica l'equivalència d'àrees.[br]Vegeu Ramon Nolla (2001) [url=https://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000044/00000093.pdf#page=84][u]Estudis i activitats sobre problemes clau de la història de les matemàtiques"[/u][/url], pàg. 64-67.
Observeu les transformacions d'àrees quan es mou el punt M.[br][list][br][*] Expliqueu detalladament l'equivalència d'àrees que porta a la veritat del teorema[br][*] Feu una demostració utilitzant la semblança de triangles[br][/list]
– Ramon Nolla

3.2.

–

3.3.

–

4.

Construcció de l'arrel quadrada

  • 1. Construcció d'arrels quadrades. 'Elements' ii.4 i vi.13

4.1.

Construcció d'arrels quadrades. 'Elements' ii.4 i vi.13

Construcció de l'arrel quadrada d'un nombre segons les proposicions [b][color=#ff0000][u][url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII14.html]ii.14[/url][/u][/color][/b] i [b][color=#ff0000][u][url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI13.html]vi.13[/url][/u][/color][/b] dels [i]Elements[/i] d'Euclides.[br]La proposició VI.13 utilitza la semblança de triangles.[br]La proposició II.14 utilitza la comparació d'àrees.[br]Podeu canviar el nombre a partir dels seus factors [b]p[/b] i [b]q[/b].[br]El punt lliscant [b]a[/b] anima la construcció.
Observeu la construcció i demostreu que és correcta.
– Ramon Nolla

5.

Equació de segon grau relacionada amb II.5 i VI.28

  • 1. Equació de segon grau. Anàlisi i síntesi geomètrica

5.1.

Equació de segon grau. Anàlisi i síntesi geomètrica

Visualització del procés d'anàlisi i síntesi de resolució geomètrica de l'equació de segon grau a l'estil euclidià.
Anomenem tècnica del [i]gnòmon[/i], la utilitzada per convertir un rectangle en diferència de dos quadrats. [br][list][br][*] De quina manera intevé el teorema de Pitàgores en l'anàlisi del problema i descriu l'anàlisi.[br][*] Descriviu la síntesi final i com es justifica.[br][*] Descriviu el procés en llenguatge algèbric i observa que proporciona un algoritme en aquest llenguatge.[br][/list]
– Ramon Nolla

6.

Secció àuria

  • 1. Proposició II.11 dels Elements d'Euclides

6.1.

Proposició II.11 dels Elements d'Euclides

Proposició II.11 del [i]Elements[/i] d'Euclides. Es contrueix el que més modernament es va anomenar la secció àuria d'un segment, clau per a la construcció d'un pentàgon regular a partir del costat.
[list][br][*] Demostreu que: [math]\frac{AB}{AX}=\frac{AX}{XB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math][br][*] La relació entre la diagonal i el costat d'un pentàgon regular és igual a la raó de l'apartat anterior[br][*] Dissenyeu una construcció del pentàgon regular a partir d'un dels seus costats , tenint en compte el Teorema de Pitàgores i que [math]\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}+\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}[/math][br][/list]
– Ramon Nolla

7.

Teorema del cosinus

Proposicions II.13 i II.14 dels [i]Elements[/i]

  • 1. Teorema del cosinus. Euclides, Elements II-12/13

7.1.

Teorema del cosinus. Euclides, Elements II-12/13

Animació inspirada en Grégoire de Saint-Vincent, 1647
Animació inspirada en la demostració de les proposicions II.12 i II.13 dels Elements d'Euclides feta per Grégoire de Saint-Vincent en la seva [i]Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum. [/i]Euclides es basa en I.47, (teorema de Pitàgores), i les dues identitats notables demostrades a II.4 i II.7. De Saint-Vincent no ho fa així i utilitza l'estratègia d'Euclides per demostrar I.47 que es recolza en el criteri C_A-C. de congruència de triangles (I.4). Podeu consultar,[br][list][*]De Saint-Vincent, Grégoire (1647a). [i]Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum[/i] llibre I, part 2a, proposicions 44 i 45[i].[/i][i] [/i][u][color=#ff0000][b][url=http://www.17centurymaths.com/contents/gregorius/book1b%20pp21-36.pdf#page=22]Edició llatí/anglès de Ian Bruce[/url][/b][/color][/u] al web [i][url=http://www.17centurymaths.com/]http://www.17centurymaths.com/[/url].[/i] [/*][*]De Saint-Vincent, Grégoire (1647b). [i]Opus geometricum ...[/i] [url=https://www.e-rara.ch/zut/doi/10.3931/e-rara-9182][color=#ff0000][b]Edició llatina de 1647[/b][/color][/url] [/*][*]Heath, sir Thomas L. (1908). [i]Euclid. The Theerteen Books of The Elements[/i] [color=#ff0000][b][u][url=https://ia802306.us.archive.org/26/items/thirteenbookseu02heibgoog/thirteenbookseu02heibgoog.pdf#page=424]vol.1, pàg. 403-409[/url][/u][/b][/color][/*][*]Nolla, Ramon (2006). [i]Estudis i activitats sobre problemes clau de la Història de la Matemàtica[/i], [b][color=#ff0000][u]pàg. 103-104[/u][/color].[/b][/*][*]Pla, Josep (2018). [i]Història de la matemàtica: Grècia IIa (els [/i]Elements[i] d'Euclides: llibres I, II, III, IV, V, VI)[/i]. pàg. 177-179[/*][/list]
– Ramon Nolla

Information