Analisi

Simona Riva

Raccolta di fogli di lavoro di Analisi.

Table des matières

  1. Funzioni reali di variabile reale
    1. Analisi di un grafico: dominio e immagine - Esplorazione
    2. Funzioni periodiche
  2. Limiti e continuità
    1. Limite infinito di f(x) per x che tende a un valore finito
    2. Limite finito di f(x) per x che tende a un valore finito
    3. Limite infinito di f(x) per x che tende a infinito
    4. Limite finito di f(x) per x che tende a infinito
    5. Continuità in un punto
    6. Non uniforme continuità di 1/x - Esplorazione
  3. Derivate e applicazioni
    1. Definizione e significato geometrico della derivata
    2. Esplorazione della derivata delle funzioni quadratiche
    3. Esplorazione della derivata delle funzioni esponenziali
    4. Derivata e differenziale - Significato geometrico
    5. Teorema di Rolle - Lezione+Esplorazione+Pratica
    6. Scatole ... ottime - Esplorazione+Pratica
  4. Integrali
  5. Funzioni di più variabili
    1. Curve di livello

1.

Funzioni reali di variabile reale

  • 1. Analisi di un grafico: dominio e immagine - Esplorazione
  • 2. Funzioni periodiche

1.1.

Analisi di un grafico: dominio e immagine - Esplorazione

Seleziona la proprietà da esplorare, quindi segui le istruzioni.[br][br]I piccoli punti sul grafico della funzione di consentono di modificarne l'aspetto.
Una questione di esistenza...
Sappiamo che:[br]- i polinomi esistono per qualsiasi valore assunto dalla variabile[br]- le frazioni esistono quando il denominatore è diverso da 0[br]- le radici di indice pari esistono quanto il radicando è non negativo[br]- le radici di indice dispari esistono per qualsiasi valore del radicando[br][br]Se l'espressione analitica di una funzione contiene più "componenti" che necessitano di condizioni di esistenza, la funzione esiste per tutti i valori della variabile che soddisfano tali condizioni contemporaneamente.
Le funzioni [math]f\left(x\right)=\sqrt{x^2+5x+6}[/math] e [math]g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+5x+6}}[/math] hanno lo stesso dominio?[br]Spiega la tua congettura, quindi calcola il dominio di [math]f\left(x\right)[/math] e [math]g\left(x\right)[/math].
Qual è il dominio di [math]h\left(x\right)=\left|x+7\right|+1[/math]?[br]E l'immagine?
– Simona Riva

1.2.

–

2.

Limiti e continuità

  • 1. Limite infinito di f(x) per x che tende a un valore finito
  • 2. Limite finito di f(x) per x che tende a un valore finito
  • 3. Limite infinito di f(x) per x che tende a infinito
  • 4. Limite finito di f(x) per x che tende a infinito
  • 5. Continuità in un punto
  • 6. Non uniforme continuità di 1/x - Esplorazione

2.1.

Limite infinito di f(x) per x che tende a un valore finito

La definizione predefinita nell'app è la [math]M-\delta[/math]. [br]Il pulsante in basso a destra ti consente di passare da questa definizione alla definizione per intorni.[br][br]Esplora la definizione passo a passo, e al termine muovi il punto [math]M[/math] e il punto [math]x[/math] per visualizzare i valori assunti da [math]f\left(x\right)[/math] nell'intervallo in cui il limite è soddisfatto.
Cosa rappresenta per la funzione la retta di equazione [math]x=x_0[/math]?
Applicando la definizione indica quale di questi limiti è corretto.[br]
– Simona Riva

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

Derivate e applicazioni

  • 1. Definizione e significato geometrico della derivata
  • 2. Esplorazione della derivata delle funzioni quadratiche
  • 3. Esplorazione della derivata delle funzioni esponenziali
  • 4. Derivata e differenziale - Significato geometrico
  • 5. Teorema di Rolle - Lezione+Esplorazione+Pratica
  • 6. Scatole ... ottime - Esplorazione+Pratica

3.1.

Definizione e significato geometrico della derivata

Esplora interattivamente la costruzione geometrica della derivata di una funzione [math]f\left(x\right)[/math] in un suo punto[color=#9900ff] [b][i]P[/i][/b][/color].[br][br]L'incremento della variabile indipendente è rappresentato da uno slider [b][color=#1e84cc][i]h[/i][/color][/b] che sarà visualizzato all'interno della costruzione. Muovi [color=#9900ff][b][i]P[/i][/b][/color] e [b][color=#1e84cc][i]h[/i][/color][/b] per esplorare varie configurazioni.
Ora tocca a te...
Calcola le derivate delle seguenti funzioni nei punti indicati, applicando la definizione.[br][br][math]f(x)=\sqrt{3x-1} \mbox{ in } x=3[/math][br][br][math]f(x)=e^{2x} \mbox{ in } x=0[/math][br][br][math]f(x)=\frac{1}{1-x} \mbox{ in } x=2[/math]
– Simona Riva

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

–

3.6.

–

4.

Integrali


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5.

Funzioni di più variabili

  • 1. Curve di livello

5.1.

Curve di livello

Le curve di livello sono le proiezioni sul piano [math]Oxy[/math] delle curve che otteniamo sezionando una funzione [math]z=f\left(x,y\right)[/math] con un piano orizzontale di equazione [math]z=k[/math].[br][br]Al variare di [math]k[/math] otteniamo quindi un'immagine della disposizione dei punti della funzione che si trovano alla stessa quota: tale immagine ci consente di trarre informazioni relative al comportamento di [math]f\left(x\right)[/math].[br][br]Esplora le curve di livello di alcune funzioni, come ad esempio [math]f\left(x,y\right)=xy[/math], [math]f\left(x,y\right)=\sqrt{x^2+y^2}[/math], oppure [math]f\left(x,y\right)=2x+5y-1[/math]. Il pulsante MOSTRA/NASCONDI TRACCIA ti consente di visualizzare solo la curva di livello corrispondente al valore scelto, oppure tutte le curve di livello nell'intervallo di [math]k[/math] selezionato.[br][br]Puoi ruotare la vista 3D tenendo premuto il tasto destro del mouse e trascinandola, o con i gesti predefiniti dei dispositivi touch.
– Simona Riva

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