A Bolyai geometria – szemléletesen

Szilassi Lajos, May 7, 2018

„... semmiből egy új, más világot teremtettem;...” (Bolyai János) Az általános és középiskolai geometria oktatásunk teljes egészében az euklideszi geometriára épül. Tanítványaink jobb esetben hallanak ugyan valamit Bolyai János munkásságáról, azonban a Bolyai geometria, vagy általában a nem euklideszi geometriák témaköre távoli misztikumnak tűnik a legtöbb gimnazista, sőt még a felsőbb matematikát tanulók jelentős része számára is. Mivel precíz axiomatikus tárgyalásra nyilvánvalóan nem kerülhet sor, még a kínálkozó absztrakciós lehetőségeket sem használjuk ki. Ha azonban szemléletessé tudjuk tenni a nem-euklideszi geometriát, ezzel arra is lehetőségünk nyílik, hogy más megvilágításba helyezzük a „közismert” euklideszi geometria alapfogalmait, egyszerűbb állításait. Mint látni fogjuk, a jól ismert euklideszi és az itt modellezett Bolyai-síkgeometria gyökere azonos: a párhuzamossági axióma kimondása előtti fogalmak mindkét geometriában ugyanúgy érvényesek. Így az itt bemutatott modellel egyben új szemléletet is nyújthatunk a középiskolai elemi geometriai ismeretekhez is. Ez a GeoGebra Book lényegében a középiskolai ismeretekre támaszkodva vezeti be a hiperbolikus geometria legalapvetőbb fogalmait. Mielőtt tovább mennénk ,azoknak, akik ennél bővebb információhoz szeretnének jutni a téma tudománytörténeti hátteréről, figyelmébe ajánljuk ezt az írást:[ https://www.facebook.com/petergabor.szabo/posts/10223099044937345] Nem feladatunk, hogy a nem-euklideszi geometriákról átfogó ismereteket nyújtsunk, mindössze egy szemléletes képeskönyv szintjén igyekszünk kedvet teremteni az elmélyültebb, matematikai igényességet feltételező megismeréséhez. Lássuk tehát, mit is jelent a Bolyai János által teremtett „új világ”! Senkit nem szeretnénk lebeszélni arról, hogy az önálló felfedezés örömét átélve máris kezdjen bele az egyes fejezetek önállóa tanulmányozásába, tegye ezt. De aki szívesen megnézne előbb egy összefoglaló anyagot, továbbá kíváncsi az alábbi Geogebra anyag felhasználási lehetőségére, előbb ismerkedjen meg ezzel a YouTube anyaggal: [b]https://www.youtube.com/watch?v=Fdaa_8JW7ZU[/b]

Table of Contents

  1. 01 A geometria axiomatikus felépítése
    1. 0101 Az abszolút, az euklideszi és a hiperbolikus geometria kapcsolata
  2. 02 Geometriai modellek
    1. 0201 A modell, a hiperbolikus geometria modellezése
    2. 0202 A P-modell eszköztára
  3. 03 Abszolút geometria - hiperbolikus geometria
    1. 0301 Abszolút geometriai kapcsolatok a P-modellen
    2. 0302 A tükrözési axiómák megjelenítése a P-modellen
  4. 04 A háromszög
    1. 0401 A háromszög nevezetes vonalai és pontjai
  5. 05 Feladatok (Egybevágóság)
    1. 0501 Kitűzött feladatok
    2. 0502 Adott sugarú, adott középpontú kör
    3. 0503 Adott átmérőjű kör
    4. 0504 Két szakasz összemérése
    5. 0505 A háromszög oldalai közötti kapcsolat
    6. 0506 Középpontos tükrözés
    7. 0507 Forgatás
    8. 0508 Egész számok a számegyenesen
    9. 0509 Egyenes menti eltolás az egység egész számú többszörösével.
    10. 0510 Egyenes menti eltolás adott szakasszal
    11. 0511 Két tengelyes tükrözés szorzata
  6. 06 Szakasz és szög mérése
    1. 0601 Mérésekkel kapcsolatos eljárások a P-modellen
  7. 07 Feladatok (Mérés)
    1. 0701 Mérésekkel kapcsolatos feladatok a P-modellen
    2. 0702 A háromszög defektusa
    3. 0703 Szögek másolása
    4. 0704 Egyenlő szárú háromszög szerkesztése
    5. 0705 Számegyenes megadása függvénnyel
    6. 0706 A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések
    7. 0707 Érvényes-e Thalész tétele a hiperbolikus geometriában?
    8. 0708 Szabályos sokszögek
    9. 0709 Egyirányú egyenesek szerkesztése
    10. 0710 Az elpattanás szöge és a párhuzamossági távolság
  8. 08 Trigonometria
    1. 0801 A szinusztétel és a koszinusztételek
    2. 0802 A háromszögszerkesztés alapesetei
  9. 09 Parkettázás
    1. 0901 Háromszög parketta
    2. 0902 Körök a háromszögrácson
    3. 0903 Háromszög parketta animáció
    4. 0905 M.C.Escher: Circle limit1
    5. 0906 Négyzetparketta a P-modellen
  10. 10 Sugársorok - ciklusok
    1. 1001 Sugársorok, ciklusok
    2. 1002 Függvényábrázolás a P modellen
  11. 11 Feladatok - haladóknak
    1. 1101 Feladatok - mérés nélkül
    2. 1102 Kör adott pontból húzott érintői
    3. 1103 A húrnégyszög
    4. 1104 A paralelogramma
    5. 1105 Háromszög oldalfelező pontjai
    6. 1106 Egyenlő területű háromszögek
    7. 1107 Egy versenyfeladat
    8. 1108 Egy lemma
    9. 1109 Egy egyenest és egymást érintő körök
    10. 1110 Három kör
    11. 1111 Egy kör adott egyenesre merőleges érintői
    12. 1112 Két kör közös érintői

1.

01 A geometria axiomatikus felépítése

  • 1. 0101 Az abszolút, az euklideszi és a hiperbolikus geometria kapcsolata

1.1.

–

2.

02 Geometriai modellek

  • 1. 0201 A modell, a hiperbolikus geometria modellezése
  • 2. 0202 A P-modell eszköztára

2.1.

–

2.2.

–

3.

03 Abszolút geometria - hiperbolikus geometria

  • 1. 0301 Abszolút geometriai kapcsolatok a P-modellen
  • 2. 0302 A tükrözési axiómák megjelenítése a P-modellen

3.1.

–

3.2.

–

4.

04 A háromszög

  • 1. 0401 A háromszög nevezetes vonalai és pontjai

4.1.

–

5.

05 Feladatok (Egybevágóság)

Alakzatok megadása, illeszkedés, metszés, egybevágósági transzformációk

  • 1. 0501 Kitűzött feladatok
  • 2. 0502 Adott sugarú, adott középpontú kör
  • 3. 0503 Adott átmérőjű kör
  • 4. 0504 Két szakasz összemérése
  • 5. 0505 A háromszög oldalai közötti kapcsolat
  • 6. 0506 Középpontos tükrözés
  • 7. 0507 Forgatás
  • 8. 0508 Egész számok a számegyenesen
  • 9. 0509 Egyenes menti eltolás az egység egész számú többszörösével.
  • 10. 0510 Egyenes menti eltolás adott szakasszal
  • 11. 0511 Két tengelyes tükrözés szorzata

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

6.

06 Szakasz és szög mérése

  • 1. 0601 Mérésekkel kapcsolatos eljárások a P-modellen

6.1.

–

7.

07 Feladatok (Mérés)

  • 1. 0701 Mérésekkel kapcsolatos feladatok a P-modellen
  • 2. 0702 A háromszög defektusa
  • 3. 0703 Szögek másolása
  • 4. 0704 Egyenlő szárú háromszög szerkesztése
  • 5. 0705 Számegyenes megadása függvénnyel
  • 6. 0706 A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések
  • 7. 0707 Érvényes-e Thalész tétele a hiperbolikus geometriában?
  • 8. 0708 Szabályos sokszögek
  • 9. 0709 Egyirányú egyenesek szerkesztése
  • 10. 0710 Az elpattanás szöge és a párhuzamossági távolság

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

8.

08 Trigonometria

  • 1. 0801 A szinusztétel és a koszinusztételek
  • 2. 0802 A háromszögszerkesztés alapesetei

8.1.

–

8.2.

–

9.

09 Parkettázás

  • 1. 0901 Háromszög parketta
  • 2. 0902 Körök a háromszögrácson
  • 3. 0903 Háromszög parketta animáció
  • 4. 0905 M.C.Escher: Circle limit1
  • 5. 0906 Négyzetparketta a P-modellen

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

10.

10 Sugársorok - ciklusok

  • 1. 1001 Sugársorok, ciklusok
  • 2. 1002 Függvényábrázolás a P modellen

10.1.

–

10.2.

–

11.

11 Feladatok - haladóknak

  • 1. 1101 Feladatok - mérés nélkül
  • 2. 1102 Kör adott pontból húzott érintői
  • 3. 1103 A húrnégyszög
  • 4. 1104 A paralelogramma
  • 5. 1105 Háromszög oldalfelező pontjai
  • 6. 1106 Egyenlő területű háromszögek
  • 7. 1107 Egy versenyfeladat
  • 8. 1108 Egy lemma
  • 9. 1109 Egy egyenest és egymást érintő körök
  • 10. 1110 Három kör
  • 11. 1111 Egy kör adott egyenesre merőleges érintői
  • 12. 1112 Két kör közös érintői

11.1.

–

11.2.

–

11.3.

–

11.4.

–

11.5.

–

11.6.

–

11.7.

–

11.8.

–

11.9.

–

11.10.

–

11.11.

–

11.12.

–

Information