Sammensætning af spejlinger

matematikniels_1, Oct 20, 2015

Eksperimenter med resultatet af at to spejlinger sammensættes. Flytningsgeometriens hovedsætning siger at enhver flytning kan sammensættes af højst tre spejlinger. Fire konstruktionseksempler til at øve den konstruktion der viser hvordan man finder de (højst) tre spejlingsakser. Hvis en flytning ikke kan sammensættes af mindre end to spejlinger, er det en glidespejling. Beviset bygger på en konstruktion, som vises. Der er fire øvelseseksempler til den.

Table of Contents

  1. Sammensætning af to spejlinger
    1. To spejlinger i skærende akser
    2. To spejlinger i parallelle akser
  2. Konstruktion af de tre akser
    1. Flytningsgeometriens hovedsætning
  3. Eksempler til at øve konstruktionen
    1. Højst tre spejlinger - eksempel 1
    2. Højst tre spejlinger - eksempel 2
    3. Højst tre spejlinger - eksempel 3
    4. Højst tre spejlinger - eksempel 4
  4. Tre spejlinger giver en glidespejling
    1. En flytning sammensat af tre spejlinger er en glidespejling
  5. Øvelser til "Tre spejlinger giver en glidespejling"
    1. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 1
    2. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 2
    3. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 3
    4. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 4

1.

Sammensætning af to spejlinger

En flytning der er kan sammensættes af to spejlinger er enten en drejning eller en parallelforskydning.

  • 1. To spejlinger i skærende akser
  • 2. To spejlinger i parallelle akser

1.1.

To spejlinger i skærende akser

Firkant ABCD spejles først i linjen gennem OP, dernæst i linjen gennem OQ. Hvad er det samlede resultat?

Eksperimenter med konstruktionen ved at flytte punkterne.
– matematikniels_1

1.2.

–

2.

Konstruktion af de tre akser

Flytningsgeometriens hovedsætning siger at enhver flytning kan sammensættes af højst tre spejlinger. Her ses en metode der gør det muligt at konstruere de tre akser, givet tre punkter der ikke ligger på samme linje og deres billeder. Læg mærke til at der - som vist i kapitel 4 - godt kan være andre tre spejlingsakser som giver den samme flytning.

  • 1. Flytningsgeometriens hovedsætning

2.1.

Flytningsgeometriens hovedsætning

Ifølge flytningsgeometriens hovedsætning kan enhver flytning sammensættes af højst tre spejlinger. Her ses hvordan de tre spejlingsakser konstrueres. Klik på navigationsknapperne for at se trinnene.

Der er fire eksempler hvor man kan øve sig på konstruktionen.
– matematikniels_1

3.

Eksempler til at øve konstruktionen

  • 1. Højst tre spejlinger - eksempel 1
  • 2. Højst tre spejlinger - eksempel 2
  • 3. Højst tre spejlinger - eksempel 3
  • 4. Højst tre spejlinger - eksempel 4

3.1.

Højst tre spejlinger - eksempel 1

Konstruer tre spejlingsakser, sådan at firkant [i]ABCD[/i] afbildes i firkant [i]A[/i]'''[i]B[/i]'''[i]C[/i]'''[i]D[/i]'''. Du kan se stikord til konstruktionen nederst på siden. Der er kun medtaget de nødvendige værktøjer, men hvis du ønsker det, kan du gendanne værktøjsbjælken via menuen Værktøjer, Tilpas værktøjslinjen. Når konstruktionen er foretaget, kan du tjekke at det er gjort rigtigt ved at spejle firkant [i]ABCD[/i] i den første spejlingsakse, derefter spejle spejlbilledet i den anden akse og til sidst spejle det andet spejlbillede i den tredje spejlingsakse.

[list=1] [*]Første spejlingsakse er midtnormalen til [i]A[/i] og [i]A[/i]''' [*][i]B[/i] spejles i første spejlingsakse. Midtnormalen mellem dette spejlbillede og [i]B[/i]''' er anden spejlingsakse [*]Tredje spejlingsakse er linjen gennem [i]A[/i]''' og [i]B[/i]''' [/list]
– matematikniels_1

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Tre spejlinger giver en glidespejling

Hvis en flytning ikke kan sammensættes af mindre en tre spejlinger, er den en glidespejling. Det kan ses af denne konstruktion, hvor de tre spejlingsakser fra kapitel 1 erstattes af nogle andre der viser at der er tale om en glidespejling: [i]Først[/i] en spejling [i]Dernæst[/i] spejles der i to akser der er parallelle indbyrdes - altså en parallelforskydning, og vinkelret på den første. [i]Alt i alt[/i] giver det en glidespejling.

  • 1. En flytning sammensat af tre spejlinger er en glidespejling

4.1.

En flytning sammensat af tre spejlinger er en glidespejling

Enhver flytning kan sammensættes af højest tre spejlinger. Hvis der kræves tre spejlinger, og en eller to altså ikke er nok, er flytningen en glidespejling. Det kan man se et bevis for her. (Se brugsanvisning nederst på siden).

Tryk på knapperne for at gå frem eller tilbage i beviset. På ethvert trin kan man spejle firkant ABCD i de tre linjer i nummerorden for at overbevise sig om at de nye linjer giver samme flytning. Man kan altid slette igen, så konstruktionen ikke bliver overfyldt.
– matematikniels_1

5.

Øvelser til "Tre spejlinger giver en glidespejling"

Beviset i kapitel 4 består i en konstruktion. Den viser at man kan tage de tre akser som blev konstrueret i kapitel 2, og - uden at lave om på den flytning der er det samlede resultat - erstatte dem med to akser der er parallelle, og en tredje, der står vinkelret på dem. Alt i alt giver det en glidespejling. Beviset er lettere at forstå hvis man selv prøver at lave konstruktionen.

  • 1. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 1
  • 2. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 2
  • 3. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 3
  • 4. Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 4

5.1.

Tre spejlinger er en glidespejling - eksempel 1

Her kan man øve den konstruktion der ligger bag beviset for at der er tale om en glidespejling hvis en flytning ikke kan sammensættes af mindre end tre spejlinger.[br]Se fremgangsmåden under konstruktionen.
[list][br][*]Konstruer en ny s[sub]2[/sub] vinkelret på s[sub]1[/sub] gennem skæringspunktet for s[sub]2[/sub] og s[sub]3[/sub]. [br]Farv den nye s[sub]2[/sub] orange (kopier udseendet med malerkosten), og skjul den gamle s[sub]2[/sub].[br][*]Konstruer en ny s[sub]3[/sub] ved at dreje den nye s[sub]2[/sub] om skæringspunktet for s[sub]2[/sub] og s[sub]2[/sub] med vinklen v.[br]Farv den nye s[sub]3[/sub] rød, og skjul den gamle s[sub]3[/sub].[br][*]Marker skæringspunktet mellem den grønne s[sub]1[/sub] og den orange s[sub]2[/sub].[br]Konstruer en ny s[sub]1[/sub] gennem dette skæringspunkt som en vinkelret på den røde s[sub]3[/sub].[br]Farv den nye s[sub]1[/sub] grøn og skjul den gamle.[br][*]Konstruer en ny s[sub]2[/sub], så der stadig er en ret vinkel mellem s[sub]1[/sub] og s[sub]2[/sub]. Den skal også gå gennem skæringspunktet mellem den grønne s[sub]1[/sub] og den orange s[sub]2[/sub].[br]Farv den nye s[sub]2[/sub] orange, og skjul den gamle.[br][*]Nu kan man prøve konstruktionen ved at spejle den grønne trekant i s[sub]1[/sub], spejle billedet videre i s[sub]2[/sub] og spejle det sidste billede i s[sub]3[/sub].[br][/list]
– matematikniels_1

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

Information