Bunryu Kamimura, 15 mei 2017

アポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、[b]平面において与えられた3つの円に接する円を描く[/b]問題である。 とても面白い問題で、普通は８本あるが、いくつあるのかをフリーハンドで作図するのも面白い。 その導入として、デカルトの円定理を取り上げた。 この問題は、和算では傍斜術として研究された。 作図は、図形の総合的な技術であり、とても楽しく学ぶことができる。ジオジェブラにぴったりの教材である。

デカルトの円定理 [math]{\displaystyle(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})}[/math] (1) 先に3つの円（もしくは2つの円と1つの直線）が与えられたとき、4つめの円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。 [math]{\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}} [/math] (2) 複号により解は2つ与えられる。直線への退化を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。

• 1. ２円に接する円の作図
• 2. デカルトの円定理２円
• 3. デカルトの円定理３円
• 4. 円に内接する円
• 5. 円に内接する円ーその３
• 6. アポロニウスの問題・８円

アポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、平面において与えられた3つの円に接する円を描く問題である。 試しにいろいろ作図してみよう。 ①何個の接する円があるのか ②どうやって円を見つけたらいいのか ③まず一個の場合はどうやったらいいのか

• 1. アポロニウスの問題
• 2. 円錐曲線による二つの円に接する円の作図
• 3. 円錐曲線による作図
• 4. あと４個
• 5. ８つの接円
• 6. ３円内側A1と３円外側の中心B1
• 7. ８つの接円の中心

方ベキの定理を使って接円を求めるやり方。

• 1. 二点を通り定円に接する円
• 2. 方ベキの定理
• 3. 一点から二定円への接する円
• 4. 三円に接する円

２円の相似の中心は３つあるが、それは一直線に並ぶ。 それと根心と根円を用いて、接円との接点を求める。 この方法を編み出したのはジェルゴンヌ。

• 1. ３円の接線の交点は一直線上にある
• 2. モンジュの定理の直観的証明
• 3. 二つの円の接線の性質
• 4. 根軸の作図
• 5. ２円に接する円の作図方法
• 6. 二円の根軸に関する基本定理
• 7. 根心と接線の関係
• 8. ２つの円の根軸と３つの円の根心
• 9. ３つの円の相似の中心
• 10. 反転（鏡映）から根と極と極線
• 11. ３つの相似の中心を通る線と円との極線
• 12. 極線と根軸の関係
• 13. 極と極線と接線の関係
• 14. アポロニウスの問題・極線と極
• 15. アポロニウスの問題・極線と極から接点を捜す
• 16. 根軸と根心による作図方法
• 17. アポロニウスの問題・８円

これらの作図の方法を利用して、円の中に円を描くことを考えてみよう。

• 1. アポロニウスのギャスケット２
• 2. 反転（円に関する鏡映）による作図
• 3. アポロニウスのギャスケット
• 4. アポロニウスのギャスケットその２
• 5. アポロニウスのギャスケットその３
• 6. アポロニウスのギャスケットその４