0

アポロニウスの問題

Bunryu Kamimura, 15/5/2017

アポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、[b]平面において与えられた3つの円に接する円を描く[/b]問題である。とても面白い問題で、普通は８本あるが、いくつあるのかをフリーハンドで作図するのも面白い。その導入として、デカルトの円定理を取り上げた。この問題は、和算では傍斜術として研究された。作図は、図形の総合的な技術であり、とても楽しく学ぶことができる。ジオジェブラにぴったりの教材である。「極と極線と根軸を用いるジェルゴンヌの方法」についてまとめました。 [b]アポロニウスの問題『のぼりおり』[/b][url]https://hamaguri.sakura.ne.jp/Apollonius.htm[/url]

Tabla de Contenidos

1.

デカルトの円定理

デカルトの円定理 [math]{\displaystyle(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})}[/math] (1) 先に3つの円（もしくは2つの円と1つの直線）が与えられたとき、4つめの円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。 [math]{\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}} [/math] (2) 複号により解は2つ与えられる。直線への退化を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。