アポロニウスの問題

Bunryu Kamimura, May 15, 2017

アポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、[b]平面において与えられた3つの円に接する円を描く[/b]問題である。 とても面白い問題で、普通は８本あるが、いくつあるのかをフリーハンドで作図するのも面白い。 その導入として、デカルトの円定理を取り上げた。 この問題は、和算では傍斜術として研究された。 作図は、図形の総合的な技術であり、とても楽しく学ぶことができる。ジオジェブラにぴったりの教材である。

Table of Contents

  1. デカルトの円定理
    1. ２円に接する円の作図
    2. デカルトの円定理２円
    3. デカルトの円定理３円
    4. 円に内接する円
    5. 円に内接する円ーその３
  2. アポロニウスの問題
    1. アポロニウスの問題
    2. 円錐曲線による二つの円に接する円の作図
    3. 円錐曲線による作図
    4. あと４個
    5. ８つの接円
    6. ３円内側A1と３円外側の中心B1
    7. ８つの接円の中心
  3. アポロニウスの問題（方ベキの定理）
    1. 二点を通り定円に接する円
    2. 方ベキの定理
    3. 一点から二定円への接する円
    4. 三円に接する円
  4. アポロニウスの問題（根心と外相似軸）
    1. ２つの円の根軸と３つの円の根心
    2. ２つの円の相似の中心
    3. ３つの相似の中心を通る線と円との極線
    4. 根軸と根心による作図方法
    5. ２つの円の相似の中心
  5. アポロニウスのギャスケット
    1. アポロニウスのギャスケット２
    2. アポロニウスのギャスケット
    3. アポロニウスのギャスケットその２
    4. アポロニウスのギャスケットその３
    5. アポロニウスのギャスケットその４

1.

デカルトの円定理

デカルトの円定理 [math]{\displaystyle(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})}[/math] (1) 先に3つの円（もしくは2つの円と1つの直線）が与えられたとき、4つめの円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。 [math]{\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}} [/math] (2) 複号により解は2つ与えられる。直線への退化を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。

  • 1. ２円に接する円の作図
  • 2. デカルトの円定理２円
  • 3. デカルトの円定理３円
  • 4. 円に内接する円
  • 5. 円に内接する円ーその３

1.1.

２円に接する円の作図

Ｄは△ＡＢＣの内心。内接円と辺の接する所が円の接点である。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

アポロニウスの問題

アポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、平面において与えられた3つの円に接する円を描く問題である。 試しにいろいろ作図してみよう。 ①何個の接する円があるのか ②どうやって円を見つけたらいいのか ③まず一個の場合はどうやったらいいのか

  • 1. アポロニウスの問題
  • 2. 円錐曲線による二つの円に接する円の作図
  • 3. 円錐曲線による作図
  • 4. あと４個
  • 5. ８つの接円
  • 6. ３円内側A1と３円外側の中心B1
  • 7. ８つの接円の中心

2.1.

アポロニウスの問題

この３つの円に接する円を作図してみよう。ちなみにそういう円はいくつ作図できるか？
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

–

2.7.

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3.

アポロニウスの問題（方ベキの定理）

方ベキの定理を使って接円を求めるやり方。

  • 1. 二点を通り定円に接する円
  • 2. 方ベキの定理
  • 3. 一点から二定円への接する円
  • 4. 三円に接する円

3.1.

二点を通り定円に接する円

ＣとＤを通って円ｃに接する円を作図せよ。接点ＨとＰを求めるために、仮の円ｄを作図する。そうすると方ベキの定理により、ＧＥ・ＧＦ＝ＧＣ・ＧＤ＝ＧＨ・ＧＨなので、Ｈが接点だということがわかる。３点がわかれば円が描ける。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

アポロニウスの問題（根心と外相似軸）

２円の相似の中心は３つあるが、それは一直線に並ぶ。 それと根心を用いて、接円の中心を求める。

  • 1. ２つの円の根軸と３つの円の根心
  • 2. ２つの円の相似の中心
  • 3. ３つの相似の中心を通る線と円との極線
  • 4. 根軸と根心による作図方法
  • 5. ２つの円の相似の中心

4.1.

２つの円の根軸と３つの円の根心

Ｗを動かすとＧ（根心）の意味がわかってくる。根軸とは２つの円への接点までの距離が同じ点の軌跡であり、根心は３円への接点までの距離が同じになる点である。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

–

4.5.

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5.

アポロニウスのギャスケット

これらの作図の方法を利用して、円の中に円を描くことを考えてみよう。

  • 1. アポロニウスのギャスケット２
  • 2. アポロニウスのギャスケット
  • 3. アポロニウスのギャスケットその２
  • 4. アポロニウスのギャスケットその３
  • 5. アポロニウスのギャスケットその４

5.1.

アポロニウスのギャスケット２

３円に接する円をどんどん作っていくことで、円が埋まってゆく。これをもっと簡単にできる方法がないだろうか。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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