• Thema: Funktionen, Momentane Änderung - Steigung
• 11. Schulstufe, Mathematik
• Dauer: 40 - 65 Minuten
• SchülerInnenmaterial: GeoGebra Buch

In dieser Unterrichtssequenz befassen sich die SchülerInnen mit der Befüllung eines Rohstoffsilos. Dabei sollen die SchülerInnen in Einzel- oder Partnerarbeit zunächst Funktionen aufstellen. Ausgehend von diesen Ergebnissen werden Fragen zur momentanen Änderung gestellt und Ableitungen müssen ermittelt werden. Funktionale Zusammenhänge werden in Aufgabenformaten ähnlich zu jenen der standardisierten Reifeprüfung überprüft. Diverse Verständnisfragen komplettieren diese Unterrichtssequenz.

Die SchülerInnen wissen ...

• wie eine Funktion definiert ist.
• wie der Definitionsbereich einer Funktion bestimmt werden kann.
• über die unterschiedlichen Funktionstypen Bescheid.
• wie man lineare Funktionen und Wurzelfunktionen für eine beschriebene Situation modelliert.
• wie der Strahlensatz angewandt wird.
• wie Funktionen rechnerisch und grafisch abgeleitet werden.

Die SchülerInnen können ...

• Funktionen ausgehend von Volumsformeln aufstellen.
• Kontextbezogene Definitionsbereiche angegeben.
• Funktionen und deren Bedeutung interpretieren.
• graphisch Funktionen ableiten.
• Grenzen eines Modells im jeweiligen Kontext nennen.

Einführung (5 min) In einer kurzen Einführung wird der Ablauf der Unterrichtssequenz besprochen. Die SchülerInnen erhalten den Link zum GeoGebra Buch, das die Aufgabenstellungen beinhaltet. Es wird kurz auf die Firma SCHAUMANN eingegangen und das Thema der Aufgabenstellungen - das Befüllen eines Silos und das Finden einer Füllfunktion - wird erklärt (siehe Einführung). Aktivität 1 - Füllkurve (5 - 10 min) In der Aktivität Füllkurve eines Silos arbeiten die SchülerInnen mit einem GeoGebra Applet, in dem ein 3D-Modell eines Silos dargestellt ist. Mit Schieberegler können die Maße des Silos verändert werden und die Zuflussgeschwindigkeit kann reguliert werden. Durch eine Animation kann der Füllvorgang schematisch beobachtet werden. In einem zweiten Grafik-Fenster wird der Graph der Füllfunktion angezeigt. Die Animation der Füllung und der Graph können miteinander verglichen werden.

Anschließend sollen Fragen zu funktionalen Abhängigkeiten beantwortet werden. In einer dieser Fragen wird versucht, die SchülerInnen bereits auf die Art der zusammengesetzten Funktionen hinzuweisen. Aktivität 2 - Füllfunktion (15-30 min) In der Aktivität Füllfunktion eines Silos sollen die SchülerInnen die Füllfunktion herausfinden und bestimmen. Dazu werden einige Hinweise gegeben. Die SchülerInnen haben in Aktivität 1 bereits herausgefunden, dass sich die Füllfunktion h(t) aus zwei Funktionen zusammensetzt: einer Wurzelfunktion und einer linearen Funktion. Daher sollen sie auch zwei Füllfunktionen erhalten - eine für den Kegel, und eine für den Zylinder. Entsprechend müssen Definitionsbereiche gesetzt werden. Um die Füllfunktionen h(t) aufstellen zu können, benötigen die SchülerInnen die Volums-Formeln für Kegel und Zylinder. Im Falle des Kegels muss zusätzlich der Strahlensatz eingebaut werden. Es wird eine Funktion V(t) mit Hilfe der Volumsformel ermittelt. Diese wird mit V(t)=Z*t schließlich gleichgesetzt und auf h(t) umgeformt. Zunächst sollen die Funktionen allgemein mit Variablen (R, H_K, H_Z, Z) aufgestellt werden. Im zweiten Schritt wird ein konkreter Silo betrachtet.

Aktivität 3 - Momentane Änderung (10 min) In der 3.Teilaufgabe beschäftigen sich die SchülerInnen mit der momentanen Änderung der Füllfunktionen. Zunächst sollen sie die Füllfunktion in einem GeoGebra Applet grafisch ableiten.

Anschließend wird mit Hilfe von GeoGebra diese grafische Ableitung überprüft. Etwaige Unterschiede (Definitionsbereiche) sollen interpretiert werden. Hinweis: Um die 3. Wurzel in GeoGebra einzugeben, kann dieser Befehl verwendet werden: NteWurzel(x,n), wobei x der Diskriminante entspricht. Danach werden Interpretations- und Argumentationsfragen zur 1.Ableitung gestellt. Aktivität 4 - Abflusskurve (5 - 10 min) Die Silos werden nicht nur befüllt, sondern gewisse Mengen der Rohstoffe werden für die Produktion auch entnommen. Ausgehend von dem erhaltenen Wissen aus den vorigen Aufgaben sollen die SchülerInnen in der Aktivität Abflusskurve eines Silos versuchen, den Graph der Abflussfunktion zu skizzieren. Die Skizze kann durch eine einblendbare Lösung kontrolliert werden. Der Verlauf der Abflusskurve wird anschließend betrachtet und Aussagen bzgl. dieser auf Richtigkeit überprüft.

Zusatzaufgabe - Modellgrenzen Als Zusatz können Grenzen dieses idealen Modells eines Füllvorgangs betrachtet werden. Folgende Fragen dienen dabei als Leitfragen:

• Wie verändert sich die Füllfunktion, wenn noch eine gewisse Menge an Rohstoff im Silo vorhanden ist?
• Welche Auswirkungen hat der Aggregatzustand des Rohstoffes auf die Füllhöhe?

Natürlich können auch andere Grenzen des Modells aufgezeigt werden. Sicherung Die Rechenwege (Aktivität 2) und Ergebnisse werden schriftlich festgehalten. Etwaige Unklarheiten werden gemeinsam besprochen. Die Lösungen werden mittels Selbstüberprüfung kontrolliert.

Während der Unterrichtssequenz

• Selbstkontrolle der SchülerInnen durch anzeigbare Lösungen in den GeoGebra Aktivitäten
• Verständnisfragen durch die Lehrkraft

Nach der Unterrichtssequenz

• Diskussion der Ergebnisse
• Erfolgreiches Lösen ähnlicher Aufgaben

SchülerInnenmaterial

• GeoGebra Buch (https://ggbm.at/mvK86S2n)