アポロニウス円錐曲線論

Bunryu Kamimura, Jan 6, 2016

アポロニウスは、ユークリッドの後の人で、アルキメデスとほぼ同時代。 BC２２５年頃に円錐曲線論８巻を著した。 この著は、ルネッサンスの「科学者」ガリレオ、ケプラーたちの自然探究に多大な影響を与える。 そして、射影幾何学へと発展する。 円錐曲線の多様な不思議さにひたってみよう。

Table of Contents

  1. 円錐曲線とは
    1. 円錐の切断で双曲線
    2. 円錐曲線の分類
    3. 日時計
    4. 円錐の切断
    5. 円錐の切断⇒楕円
    6. この点Ｂを動かすと・・・円錐曲線が見えてきます
  2. 円錐曲線への接線
    1. アポロニウス円錐曲線論２
    2. アポロニウス円錐曲線論１
    3. アポロニウス円錐曲線論４
    4. アポロニウスの円錐曲線論５
    5. 円錐曲線の対称性
    6. 楕円の性質
  3. 共焦円錐曲線
    1. 共焦円錐曲線
    2. 楕円の焦点の見つけ方
    3. 漸近線から双曲線を描く
    4. 双曲線の焦点の求め方
  4. 準円と準線
    1. 楕円の準円
    2. 双曲線の準円
    3. 放物線の準線
    4. 放物線の接線の作る三角形の垂心は準線上にある
    5. 楕円の焦点の包絡線
    6. 円と楕円
    7. パップスの問題（楕円）
    8. アポロニウスの円
  5. 垂点の軌跡・・・特に双曲線で
    1. 楕円の垂点の軌跡は楕円
    2. 放物線の垂点
    3. 双曲線上の三角形の垂点の軌跡
    4. 双曲線の漸近線
    5. 双子双曲線の漸近線は互いに直交する
    6. 直角双曲線と三角形
    7. 三角形の直角双曲線を作る
    8. 直角双曲線の性質
    9. 直角双曲線の性質２
    10. 刈屋点の軌跡（フォイエルバッハ双曲線）は直角双曲線
    11. キーペルト双曲線は直角双曲線
    12. 直角双曲線に内接する三角形の九点円
  6. 円錐曲線上の三角形・・・特に楕円で
    1. 楕円の内接三角形の外心・内心・重心
    2. 円周角の定理の楕円への拡張の試み
    3. 楕円における円周角の定理の拡張について２
    4. 垂心の軌跡
    5. 円錐曲線上の三角形の垂心の軌跡

1.

円錐曲線とは

円錐を切断したときの切り口の形。 これは、日時計の影の軌跡が双曲線になることなど、天体の運動を調べるためには欠かせない曲線だった。

  • 1. 円錐の切断で双曲線
  • 2. 円錐曲線の分類
  • 3. 日時計
  • 4. 円錐の切断
  • 5. 円錐の切断⇒楕円
  • 6. この点Ｂを動かすと・・・円錐曲線が見えてきます

1.1.

円錐の切断で双曲線

一応、基本に戻って、焦点とは何かの具体的なイメージは円錐に接する球から出てくる。[br]DMで切断したときの切り口が円錐曲線。
円錐の切断で双曲線
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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2.

円錐曲線への接線

円錐曲線とは、円錐を平面で切断したときにできる切り口の描く曲線である。 切り方によって形が異なってくる。 そして、この曲線には焦点がある。

  • 1. アポロニウス円錐曲線論２
  • 2. アポロニウス円錐曲線論１
  • 3. アポロニウス円錐曲線論４
  • 4. アポロニウスの円錐曲線論５
  • 5. 円錐曲線の対称性
  • 6. 楕円の性質

2.1.

アポロニウス円錐曲線論２

円錐曲線の対称性
[size=150]楕円または双曲線上の一点における接線は、焦点と結んだ線の角を常に二等分する。[br][br][/size]このことを証明しようとしたら行き詰ってしまった。[br]急がば回れ。[br]下のように回り道をしてやっと証明ができる。[br]接点で和が最小であったり、差が最大となるという性質を用いる。
楕円の場合は二つの焦点と楕円周上の点の和が常に一定。EG＋GD＝一定。つまりこの接線に対してEに対称なE’を求めると、E’Dの長さは変わらないということ。放物線の場合は差BH-CHが一定。つまりCB’の長さは変わらない。
対称性の証明　これは見事な証明でなかなか思いつかない。楕円の場合は、接線の上の点Gをとり、GE＋GDが最小の値をとる所が接点A。双曲線は、Hを動かしてみるとHBとHCの差が最大の値をとる所が接点Fの位置。
最小と対称・・・これは楕円で用いる
今度は差が最大になる所・・・これは双曲線で用いる
円錐曲線は接線で焦点に対して対称となる
和で言うと、最小の値になる所は対称点と直線で結んだ線との交わった位置である。（逆も言える）[br]楕円で見ると、接線に対して和が最小になるのは接点である。（接点以外は楕円の外にあるから）[br]したがって接点において対称点と直線となり、対称点だから角度も等しい。[br]差の場合も同様に言える。[br][br]この証明自体がとても面白い。[br]対称性がこんなところで使われていることに感動。[br]なお、この証明は「幾何学大辞典」岩田至康著を参考にした。[br]
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

共焦円錐曲線

焦点を共有する円錐曲線と双曲線の漸近線を調べる。 そして、焦点の求め方を考えてみよう。

  • 1. 共焦円錐曲線
  • 2. 楕円の焦点の見つけ方
  • 3. 漸近線から双曲線を描く
  • 4. 双曲線の焦点の求め方

3.1.

共焦円錐曲線

共通する焦点をもつ円錐曲線は直交する。[br]RSを共役直径という（アポロニウス）。
共焦円錐曲線
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

準円と準線

円錐曲線の外側から接線を引いてみる。 すると、二つの接線があることがわかる。 この二つの接線が直交する場合は？

  • 1. 楕円の準円
  • 2. 双曲線の準円
  • 3. 放物線の準線
  • 4. 放物線の接線の作る三角形の垂心は準線上にある
  • 5. 楕円の焦点の包絡線
  • 6. 円と楕円
  • 7. パップスの問題（楕円）
  • 8. アポロニウスの円

4.1.

楕円の準円

楕円の直交する接線の交点の軌跡は円となる。[br]この円を準円という。[br]（１７０４Hire）
作図の仕方と証明　　作図をたどれば証明はわかる。半径は中線定理を使って求める。r=√(ａ^2+b^2)
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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5.

垂点の軌跡・・・特に双曲線で

楕円と放物線に外接する三角形の垂点の軌跡はその円錐曲線と軸が直交する円錐曲線になる。 双曲線の場合は漸近線が直交する。 この円錐曲線を双子円錐曲線と名づける。 その間の関係をまずは、双曲線で調べてみる。 双子円錐曲線が一致する場合は、楕円の場合は円。双曲線の場合は直角双曲線である。

  • 1. 楕円の垂点の軌跡は楕円
  • 2. 放物線の垂点
  • 3. 双曲線上の三角形の垂点の軌跡
  • 4. 双曲線の漸近線
  • 5. 双子双曲線の漸近線は互いに直交する
  • 6. 直角双曲線と三角形
  • 7. 三角形の直角双曲線を作る
  • 8. 直角双曲線の性質
  • 9. 直角双曲線の性質２
  • 10. 刈屋点の軌跡（フォイエルバッハ双曲線）は直角双曲線
  • 11. キーペルト双曲線は直角双曲線
  • 12. 直角双曲線に内接する三角形の九点円

5.1.

楕円の垂点の軌跡は楕円

Hは[math]△GFH_1[/math]の垂心。[br][math]H_1[/math]を楕円の周で動かすと、垂心の軌跡は楕円を描く（青の楕円）。[br]その二つの楕円の間の角度は等しくなる。
楕円の垂点の軌跡は楕円
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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6.

円錐曲線上の三角形・・・特に楕円で

楕円に内接する三角形の垂点の軌跡は、 楕円（双子楕円）を描く。 楕円の双子楕円は、軸が互いに直交する。 楕円を円にするとどうなるのだろうか。

  • 1. 楕円の内接三角形の外心・内心・重心
  • 2. 円周角の定理の楕円への拡張の試み
  • 3. 楕円における円周角の定理の拡張について２
  • 4. 垂心の軌跡
  • 5. 円錐曲線上の三角形の垂心の軌跡

6.1.

楕円の内接三角形の外心・内心・重心

楕円に内接する三角形の外心Oとの成す角度は、[math]H_1[/math]のなす角の２倍である。[br]これは、中心角の定理の拡張と思ったけど当たり前か。
楕円の内接三角形の外心・内心・重心
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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