Cuadrado de un binomio

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Ecuaciones y Sistemas. Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas). Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:
  • "El cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto"
  • "El cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadrados MENOS el doble del producto"
Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2

y la otra demostración sería 

(a - b) (a - b) = aa - ab - ba + bb = a2 - 2ab + b2

Observa que la segunda identidad puede verse como un caso particular de la primera, cuando "b" sea un número negativo: 

(a - b)2 =  (a + (-b))2 =  a2 + 2a(-b) + b2 = a2 - 2ab + b2

 Ahora vamos a comprobar geométricamente estas dos identidades notables.
1. Mueve los puntos para variar la longitud de "a" y de "b", de forma que el punto rojo se encuentre siempre a la derecha del punto blanco. La figura completa es siempre un cuadrado. ¿Por qué? ¿Cuánto mide cada lado de ese cuadrado?
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2. Considerando el lado de ese cuadrado (tu respuesta a la pregunta anterior), ¿cuál será entonces el área de la figura completa? Anota en tu cuaderno: "El área total es .......... cm2".
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3. Ahora fíjate en las 3 partes en que está dividida la figura. Expresa la suma de sus tres áreas de la forma más reducida que puedas, sin usar paréntesis. Anota en tu cuaderno: "El área total también es la suma .................................... cm2".
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4. ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?
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5. Ahora mueve el punto rojo hasta que quede a la izquierda del punto blanco, de forma que entonces "b" le resta su longitud al segmento "a". ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado violeta? Anota en tu cuaderno: "El área del cuadrado violeta es .......... cm2".
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6. Observa que el área violeta también es igual al cuadrado completo, de lado "a" (y por tanto de área a2), menos la parte recortada roja y verde. ¿Cuál es el área de la parte recortada? Según esto, "el área del cuadrado violeta es también ......................... cm2".
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7. ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?
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Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss
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