Geometry FD ČVUT

Šárka Voráčová, Oct 18, 2015

Kurz Geometrie v 1. semestru bakalářského studia na FD ČVUT. Geometry, Faculty of Transporation Sciences, CTU [url]https://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/K611GM.htm[/url]

Table of Contents

  1. Analytic Geometry
    1. Lineární závislost vektorů
    2. Parametric equation of a straight line
    3. Cvičení: Průsečík přímek v rovině
    4. Analytic Geometry in the plane
    5. Divide Line in Ratio
    6. Center of Mass
    7. Souřadnice bodu v prostoru
    8. Analytic Geometry in 3D
    9. Intersection line (průsečnice rovin)
    10. Section of a right circular cone
    11. Parametrizace kružnice
    12. Equation of an ellipse
    13. Equation of a Hyperbola
    14. Kuželosečka daná 5 body
    15. Cvičení: Obecná rovnice kuželosečky
    16. Focus of the parabola
    17. Hyperbolic navigation
    18. Křivka ve 3D
    19. Řez paraboloidu rovinou
  2. Lineární algebra
    1. Vektorový součin (Cross product)
    2. Lineární závislost vektorů
    3. Hodnost matice
    4. Ekvivalence matice
    5. Algebraické operace s maticemi
    6. Soustava dvou lineárních rovnic
    7. Soustava lineárních rovnic pro 3 neznámé
    8. Gaussova eliminace
    9. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
    10. Determinant
  3. 2D Transformations (Zobrazení v rovině)
    1. Rotace
    2. Rotace hyperboly
    3. General scaling
    4. I. 2. Write the matrix for reflection in line OA
    5. I. 2. Write the matrix for reflection in line OA (Class)
    6. Stejnolehlost
    7. I. 3. Fixed Points (Samodružné body)
    8. I.4. Matrix representation of rotation
    9. I. 5. Matrix representation of reflection
    10. I. 8. Cicle as a linear image of the ellipse
    11. I. 9. Composition of linear transformations
    12. Affine transformation
    13. Fixed point of the plane isometry
    14. Canonical form of a conics
    15. Composition of two reflections
    16. Homografie - projektivní zobrazení roviny
    17. Axial affinity
    18. Conformal transformation
    19. Reflection in line and scaling
    20. Translation and scaling
  4. Graf funkce
    1. Funkční závislosti, volný pád
    2. Hyperbolický cosinus
    3. Funkce s reálným exponentem
    4. Inverzní funkce
    5. Inverse functions
    6. Archimedes Pi
    7. Limita a spojitost
    8. Odstranitelná nespojitost
    9. Limita sin(x)/x
    10. Asymptota grafu funkce
    11. Derivace funkce
    12. Tečna ke grafu funkce
    13. Derivace elementárních funkcí
    14. Derivace funkce sinus a cosinus
    15. Extrémy funkce
    16. Průběh funkce
    17. Taylorův rozvoj funkce
    18. Taylorův polynom
    19. Integral demonstration
    20. Newton-Leibnizova formule
    21. Fundamental Theorem of Calculus
    22. Fundamental Theorem of Calculus
  5. Curved line (Křivka)
    1. Uniform circular motion
    2. Rational parametrization of the circle
    3. Removable singularity
    4. Projectile motion (Šikmý vrh)
    5. Cycloid (Cykloida)
    6. Matematické kyvadlo
    7. Taylorovův rozvoj
    8. Šroubovice
    9. Oskulační kružnice
    10. Osculating Circle of The Elipse
    11. Polar coordinate system, Archimedean spiral
    12. Curvature of the Cycloid
    13. Extremal curvature of graph y = exp(x)
    14. Arc length
    15. Délka křivky
    16. Kubická přechodnice
    17. Euler spiral (Clothoid)
    18. Klotoida
    19. Parametrizace hyperboly
  6. Surfaces (Plochy)
    1. Řezy kvadriky 1
    2. Řezy kvadriky 2
    3. Řez hyperbolického paraboloidu
    4. Zeměpisné souřadnice
    5. Orthodromic distance
    6. Tečná rovina plochy dané implicitně
    7. Tečná rovina hyperbolického paraboloidu
    8. Tečná rovina rotačního paraboloidu
    9. Vivianiho křivka
    10. Průnik válcových ploch
    11. Průnik válců
    12. Gradient roviny
    13. Vector Fields in 2D
    14. Gradient hyperbolického paraboloidu
    15. Directional derivative and gradient.
    16. Directional derivative
    17. Dupinova indikatrix
    18. Šroubovice
    19. Lagrange Multipliers
    20. Průnik souosých rotačních ploch
    21. Lokální extrémy funkce, Lagrangeovy multiplikátory
    22. Hyperboloid jednodílný
  7. Kartografie
    1. Zeměpisné souřadnice
    2. Ortodroma
    3. Loxodroma
    4. Loxodroma v Mercatorově zobrazení
    5. Válcová plochojevná projekce
    6. Cylindrical equal- area projection
    7. Marinovo válcové zobrazení
    8. Mercator conformal map
    9. Stereografická normální projekce
    10. Azimuthal Equal-area map
    11. Orthographic projection
    12. Gnomonic projection
    13. Jak měřit plochy v mapě? - 1. část
    14. Jak měřit plochy v mapě? - 2. část
  8. Diagnostic Test
    1. Konstrukce trojúhelníka
    2. 1008 Reflection
    3. 21 Cicle P4 Papphus problem (line, A on circle)
    4. Length of an Arc
    5. 23z Circle P2 (Papphus problem)
    6. 458 Triangle
    7. 282 Triangle (AB, vb, tc)
    8. 53 Two Circles
  9. Kinematics Geometry
    1. Slider-Crank (Klikový mechanismus)
    2. Articulated Quadrilateral (Kloubový čtyřúhelník)
    3. Evolute of an ellipse
    4. Shodné útvary v rovině
    5. Elliptic motion
    6. Envelope of segment in elliptic motion.
    7. Cardioid motion (Kardiodický pohyb)
    8. Conchoidal motion
    9. Cycloid.
    10. Cycloid
    11. The tautochrone curve
    12. Rolling Coin 滾動的硬幣
    13. Evolvent of the circle
    14. 8043 - Two trajectories
    15. 8072 - Conchoidal motion

1.

Analytic Geometry

Vektorový prostor: Lineární závislost vektorů, lineární obal, báze, zaměření přímky a roviny. Analytická geometrie v rovině: Parametrické vyjádření přímky, obecná rovnice a její směrnicový tvar. Analytická geometrie v prostoru: Parametrické vyjádření přímky a roviny, obecná rovnice roviny, normálový vektor. Parametrický a implicitní popis kuželoseček. Osový tvar kuželoseček. Matematika.cz: [url]https://www.matweb.cz/kategorie-analyticka-geometrie [/url] Turzík D., Pavlíková P., Dubcová M.: Základy matematiky pro bakaláře, str. 69-79, k dispozici online [url]http://147.33.74.135/knihy/uid_isbn-978-80-7080-787-3/978-80-7080-787-3.pdf [/url]

  • 1. Lineární závislost vektorů
  • 2. Parametric equation of a straight line
  • 3. Cvičení: Průsečík přímek v rovině
  • 4. Analytic Geometry in the plane
  • 5. Divide Line in Ratio
  • 6. Center of Mass
  • 7. Souřadnice bodu v prostoru
  • 8. Analytic Geometry in 3D
  • 9. Intersection line (průsečnice rovin)
  • 10. Section of a right circular cone
  • 11. Parametrizace kružnice
  • 12. Equation of an ellipse
  • 13. Equation of a Hyperbola
  • 14. Kuželosečka daná 5 body
  • 15. Cvičení: Obecná rovnice kuželosečky
  • 16. Focus of the parabola
  • 17. Hyperbolic navigation
  • 18. Křivka ve 3D
  • 19. Řez paraboloidu rovinou

1.1.

Lineární závislost vektorů

Dva vektory [i]a, b[/i] jsou lineárně závislé, pokud jsou rovnoběžné (mají tentýž směr). Pro jejich souřadnice musíme nalézt číslo [i]k[/i] takové, že [i]a = k b[/i].[br]V rovině neexistují tři vzájemně nezávislé vektory. Vždy mezi nimi najdete jeden, který je možné vyjádřit jako lineární kombinací zbývajících dvou vektorů. Na appletu níže je vektor [i]u[/i] vyjádřen jako lineární kombinace vektorů [i]a[/i] a [i]b[/i], tj. [i]u = k.a + l.b[/i]. Koeficienty [i]k, l[/i] lineární kombinace jsou určeny geometricky, pomocí rovnoběžníka s úhlopříčkou [i]u[/i].
Vektor u je lineární kombinací vektorů a, b
Definice
Nechť [i]v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub][/i] jsou vektory z protoru [i]V[/i], [i]a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub][/i] jsou reálná čísla. Vektor [i]v[/i][br][br][center]v = [i]a[sub]1[/sub].v[sub]1[/sub]+ [i]a[sub]2[/sub].[/i]v[sub]2[/sub]+ ...[i]+a[sub]n[/sub].[/i] v[sub]n[/sub][/i] [/center]se nazývá [color=#073763][b]l[url=https://www.matweb.cz/linearni-kombinace-vektoru/]ineární kombinace vektorů[/url] [/b][/color][i]v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub][/i] s koeficienty [i]a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub][/i]. Pokud jsou všechny koeficienty [i]a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub][/i] rovny nule, hovoříme o triviální lineární kombinaci.[br][br]Řekneme, že vektory [i]v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub][/i] jsou [color=#073763][b]lineárně nezávislé[/b][/color], jestliže lze nulový vektor vyjádřit [b]pouze[/b] jako jejich triviální lineární kombinaci.[br][br][center][i]o[/i] = [i]0.v[sub]1[/sub] + [i]0.[/i]v[sub]2[/sub][/i][i][sub][/sub]+ ...[/i][i][i] + 0.[/i] v[sub]n[/sub][/i] .[/center][br]Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních.
Rozhodněte, zda jsou vektory [i]u[/i] = (1, 0, 0), [i]v[/i] = (1, 1, 1) lineárně závislé.[br]Pro volitelné reálné koeficienty [i]k, l[/i] sestrojme vektor [i]w = k.u+l.v[/i].[br]Rozhodněte, zda jsou vektory [i]u, v, w[/i] lineárně závislé.
Množina vektorů v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub],..., v[sub]k[/sub] [color=#073763][b]generuje[/b][/color] vektorový prostor V, jestliže [b]každý[/b] vektor [i]u∈ V[/i] lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci[center] [i]u = a[sub]1[/sub].v[sub]1[/sub]+a[sub]2[/sub]. v[sub]2[/sub]+...++a[sub]2[/sub]. v[sub]k[/sub][/i] [/center]Každou množinu lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru [i]V[/i] se nazáváme [color=#073763][b]bází[/b][/color] [i]V[/i]. Počet prvků báze je [color=#0B5394][b]dimenze[/b][/color] V.
Úloha
Napište nějakou bázi vektorového prostoru R[sup]3[/sup].
Úloha
Napište nějakou bázi vektorového prostoru generovaného třemi vektory (1, 0, 0), (1, 1, 1), (-1, 2, 2).
Úloha
Napište nějakou bázi vektorového prostoru generovaného čtyřmi vektory (1, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0) (0, 1 1).
Hašek, R.: Lineární algebra, kapitola "Vektory", "Matice".
– Šárka Voráčová

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

1.15.

–

1.16.

–

1.17.

–

1.18.

–

1.19.

–

2.

Lineární algebra

Vektorový prostor, operace s vektory, lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru, souřadnice. Matice, determinanty, lineární soustava rovnic. Hašek, R.: Lineární algebra,[url]http://home.pf.jcu.cz/~hasek/lalgebra/LA_TextyPrednasek_ZS18_1.pdf[/url] [url]https://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Sbirka_uloh/pdf/1.pdf[/url] Khan University: Precalculus, Matrices [url]https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices[/url]

  • 1. Vektorový součin (Cross product)
  • 2. Lineární závislost vektorů
  • 3. Hodnost matice
  • 4. Ekvivalence matice
  • 5. Algebraické operace s maticemi
  • 6. Soustava dvou lineárních rovnic
  • 7. Soustava lineárních rovnic pro 3 neznámé
  • 8. Gaussova eliminace
  • 9. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
  • 10. Determinant

2.1.

Vektorový součin (Cross product)

Vektor d je vektorový součin vektorů u, v. Je kolmý k obou vektorům, tedy k celé rovině, jejíž zaměření vektory určují. Velikost vektorového součinu vektorů u, v je rovna obsahu rovnoběžnostěnu s délkami stran u, v. [br]Vektor w je lineární kombinací vektorů u, v. Geometricky to znamená, že leží v rovině určené vektory u, v.[br][br]The [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product]cross product[/url] [b]u[/b] × [b]v[/b] is defined as a vector [b]d[/b] that is [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Perpendicular]perpendicular[/url] to both [b]u[/b] and [b]v[/b], with a direction given by the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule]right-hand rule[/url] and a magnitude equal to the area of the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram]parallelogram[/url] that the vectors span.
Přímku v prostoru GeoGebra reprezentuje parametricky. Rovinu zapisuje obecnou rovnicí [i]ax+by+cz+d=0[/i], kde [i]d[/i] = ([i]a, b, c[/i]) je normálový vektor.[br]Parametrický zápis roviny [i]a(k,l) = O + ku + lv[/i] popisuje k*l násobek rovnoběžníka určeného vektory [i]u, v[/i].
General form of the equation of the plane
Plane is given by point [i]O [/i]= (0,0,0) and two directional vectors[i] u [/i]= (2, 0, 0) and [i]v [/i]= (1,1,1). Write [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry)#Point-normal_form_and_general_form_of_the_equation_of_a_plane]general form[/url] equation [color=#1e84cc][i]ax+by+cz+d=0[/i][/color] of the plane (O, u, v).
– Šárka Voráčová

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

3.

2D Transformations (Zobrazení v rovině)

Lineární a afinní zobrazení a jeho maticová reprezentace. Sestrojení obrazu lineárních a kvadratických útvarů. F. Hreinsdótir: Investigation 2 by 2 matrices, University of Iceland, [url]https://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/K611GM_soubory/GMliteratura_soubory/transformations_GG.pdf[/url]

  • 1. Rotace
  • 2. Rotace hyperboly
  • 3. General scaling
  • 4. I. 2. Write the matrix for reflection in line OA
  • 5. I. 2. Write the matrix for reflection in line OA (Class)
  • 6. Stejnolehlost
  • 7. I. 3. Fixed Points (Samodružné body)
  • 8. I.4. Matrix representation of rotation
  • 9. I. 5. Matrix representation of reflection
  • 10. I. 8. Cicle as a linear image of the ellipse
  • 11. I. 9. Composition of linear transformations
  • 12. Affine transformation
  • 13. Fixed point of the plane isometry
  • 14. Canonical form of a conics
  • 15. Composition of two reflections
  • 16. Homografie - projektivní zobrazení roviny
  • 17. Axial affinity
  • 18. Conformal transformation
  • 19. Reflection in line and scaling
  • 20. Translation and scaling

3.1.

Rotace

Rotace se středem v počátku je lineární zobrazení. [br]Matice R zobrazení je ortonormální, determinant |R| = 1.
Určete úhel otočení, pro nějž jsou koeficienty matice celočíselné.
– Šárka Voráčová

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

3.18.

–

3.19.

–

3.20.

–

4.

Graf funkce

Základy infinitezimálního počtu. Vyšetřování grafu funkce - definiční obor, extrémy, intervaly monotonnosti, inflexní body, asymptoty.

  • 1. Funkční závislosti, volný pád
  • 2. Hyperbolický cosinus
  • 3. Funkce s reálným exponentem
  • 4. Inverzní funkce
  • 5. Inverse functions
  • 6. Archimedes Pi
  • 7. Limita a spojitost
  • 8. Odstranitelná nespojitost
  • 9. Limita sin(x)/x
  • 10. Asymptota grafu funkce
  • 11. Derivace funkce
  • 12. Tečna ke grafu funkce
  • 13. Derivace elementárních funkcí
  • 14. Derivace funkce sinus a cosinus
  • 15. Extrémy funkce
  • 16. Průběh funkce
  • 17. Taylorův rozvoj funkce
  • 18. Taylorův polynom
  • 19. Integral demonstration
  • 20. Newton-Leibnizova formule
  • 21. Fundamental Theorem of Calculus
  • 22. Fundamental Theorem of Calculus

4.1.

Funkční závislosti, volný pád

V denním životě, v přírodě, v technice a hlavně v matematice se neustále setkáváme s funkčními závislostmi jedné veličiny (např. y) na druhé (např. x). Například, zkoumáme - li vývoj epidemie, zaznamenáváme [url=https://flo.uri.sh/visualisation/1788373/embed]počet nakažených[/url] každý den, nebo denní počet hospitalizovaných, nebo týdenní přírustky počtu nakažených. Nezávislou proměnnou je zde čas, funkční hodnoty jsou počty pacientů. Ačkoliv je čas spojitou veličinou (z reálného intervalu), je jeho diskretizace dána frekvencí měření. Počet pacientů je diskréní náhodná veličina (spočetná), přesto ji můžeme pro matematické modelování a odhady trendu považovat za veličinu spojitou. [br][img]https://1gr.cz/fotky/idnes/20/022/cl5/PKA817fd5_koronagraf1.png[/img][br]Přísné dělení veličin na spojité a diskrétní je matematický formalismus, jenž dává definicím zdání dokonalosti, v praktických aplikací jsou ale data vždy diskrétní. To nám ale nebrání modelovat je jako veličiny spojité a používat pro jejich analýzu všechny výsledky infninitesimálního počtu.[br][br]V našem kurzu předpokládáme, že znáte základní [url=https://www.matweb.cz/funkce/]vlastnosti funkce[/url] (prostá, rostoucí, klesající, sudá, lichá, periodická), umíte určit definiční obor i že nakreslíte zpaměti graf elementárních funkcí (mocninná, racionální, exponenciální, logaritmická, goniometrická).[br][color=#f6b26b]Procvičte se ze znalostí grafu základních funkcí v prostředí [url=https://app.memrise.com/course/2121487/grafy-funkci/]Memrise[/url]. Je třeba se jen přihlásit účtem Google nebo Facebook.[/color][br][br]Ať již zkoumáme jakoukoliv závislost, všechny mají jednu společnou vlastnost: ke každé hodnotě nezávislé proměnné existuje nejvýše jedna reálná hodnota zkoumané závislé veličiny. [br]Zkoumáme-li např. volný pád , můžeme zaznamenávat výšku tělesa [color=#38761D][i]h[/i]([i]t[/i])[/color] v daném čase [i]t[/i], nebo můžeme zkoumat velikost okamžité rychlosti pádu [color=#cc0000][i]v(t)[/i][/color] v okamžiku [i]t[/i]. Nemůžeme v daném čase t zaznamenat dvě různé rychlosti, dvě různé výšky.[br]Volný pád v homogenním tíhovém poli (odpor prostředí zanedbáváme) je rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se zrychlením rovným tíhovému zrychlení [i]g[/i]. Proto je grafem [color=#38761D][i]h[/i]([i]t[/i])[/color] parabola, kdežto závislost [color=#cc0000][i]v[/i]([i]t[/i]) = [i]g.t[/i][/color] je lineární.
Hmotnost tělesa nemá na pohyb vliv (Aristoteles x Galileo, [url=https://youtu.be/SK2WMVM3_X4]Youtube[/url]).
Grafy elementárních funkcí
Napište do příkazového řádku předpis funkcí f[sub]1[/sub]([i]x[/i]) = |x|, f[sub]2[/sub]([i]x[/i]) = sin [i]x[/i], f[sub]3[/sub]([i]x[/i]) = tan [i]x[/i], f[sub]4[/sub]([i]x[/i]) = cosh [i]x[/i] [br]Seznam užitečných konstant a funkcí GeoGebry -[url=https://wiki.geogebra.org/en/Predefined_Functions_and_Operators] https://wiki.geogebra.org/en/Predefined_Functions_and_Operators[/url][br]Nástroj posuvník [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] je užitečný pro zkoumání vlivu parametru na graf funkce. Funkce [color=#a64d79]p([i]x[/i]) = [i]a[sup]x[/sup][/i][/color] je vykreslena fialově pro nastavenou hodnotu posuvníku [i]a[/i].
Literatura
Prezentace k přednášce "[url=https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vTWKj_QqUI_BnbEzuHA4QiNtFfiQsWSswr0F-fz-Su9tjI6ImsObMUv9N3eC8kZxcVE3yh-IwwZ4cE9/pub?start=false&loop=false&delayms=3000]Funkce[/url]", Google Slides[br]Prezentace k přednášce "[url=https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vTM6dAfwJsT8mfnb-ERepICtTl5UBXJAUphGIU8pc2nQY36Yeah7aH_rPxyELZtu4Tu1khC2w9OU7dc/pub?start=false&loop=false&delayms=3000]Infinitesimální počet[/url]", Google Slides
– Šárka Voráčová

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

5.

Curved line (Křivka)

Parametric, explicit and implicit forms of the plane curve, tangent and normal lines, curvature. Osculating circle and plane, transition curve.

  • 1. Uniform circular motion
  • 2. Rational parametrization of the circle
  • 3. Removable singularity
  • 4. Projectile motion (Šikmý vrh)
  • 5. Cycloid (Cykloida)
  • 6. Matematické kyvadlo
  • 7. Taylorovův rozvoj
  • 8. Šroubovice
  • 9. Oskulační kružnice
  • 10. Osculating Circle of The Elipse
  • 11. Polar coordinate system, Archimedean spiral
  • 12. Curvature of the Cycloid
  • 13. Extremal curvature of graph y = exp(x)
  • 14. Arc length
  • 15. Délka křivky
  • 16. Kubická přechodnice
  • 17. Euler spiral (Clothoid)
  • 18. Klotoida
  • 19. Parametrizace hyperboly

5.1.

Uniform circular motion

Pohyb po kružnici
Uniform circular motion describes the motion of a body traversing a circular path at a constant speed. In a non-uniform circular motion, an object is moving in a circular path with a varying speed. Since the speed is changing, there is a tangential acceleration in addition to normal acceleration (see [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion]Wikipedia).[br][/url][br]Bod [i]M[/i] se pohybuje konstantní rychlostí v po kružnici. Jeho úhlová dráha [math]\varphi[/math] ja přímo úměrná času [i]t[/i] viz [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Rovnoměrný_pohyb_po_kružnici]https://cs.wikipedia.org/wiki/Rovnoměrný_pohyb_po_kružnici[/url].[br]Bod [i]N[/i] se pohybuje rovnoměrně zrychleně - s konstantním zrychlením [i]a[/i].[br][br]Vektor okamžité rychlosti je první derivace průvodiče [i]r[/i] dráhy podle času [i]t[/i].[br][code]Derivace (r)[/code].[br]Vektor okamžitého zrychlení je druhá derivace průvodiče [i]r[/i] dráhy podle času [i]t[/i].[br][code]Derivace(r,2).[/code][br]Popis animace vektoru rychlosti a zrychlení viz "[url=https://www.geogebra.org/m/adNf29qr#material/sVbzVkS8]Cykloida[/url]"
Vztah mezi úhlovou a obvodovou dráhou: [math]s=\varphi \cdot r[/math].[br]Úhlová dráha [math]\varphi (t) = \omega t[/math], kde [math]\omega[/math] je úhlová rychlost.
– Šárka Voráčová

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

5.12.

–

5.13.

–

5.14.

–

5.15.

–

5.16.

–

5.17.

–

5.18.

–

5.19.

–

6.

Surfaces (Plochy)

  • 1. Řezy kvadriky 1
  • 2. Řezy kvadriky 2
  • 3. Řez hyperbolického paraboloidu
  • 4. Zeměpisné souřadnice
  • 5. Orthodromic distance
  • 6. Tečná rovina plochy dané implicitně
  • 7. Tečná rovina hyperbolického paraboloidu
  • 8. Tečná rovina rotačního paraboloidu
  • 9. Vivianiho křivka
  • 10. Průnik válcových ploch
  • 11. Průnik válců
  • 12. Gradient roviny
  • 13. Vector Fields in 2D
  • 14. Gradient hyperbolického paraboloidu
  • 15. Directional derivative and gradient.
  • 16. Directional derivative
  • 17. Dupinova indikatrix
  • 18. Šroubovice
  • 19. Lagrange Multipliers
  • 20. Průnik souosých rotačních ploch
  • 21. Lokální extrémy funkce, Lagrangeovy multiplikátory
  • 22. Hyperboloid jednodílný

6.1.

Řezy kvadriky 1

Pomocí řezů rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami určete typ kvadriky.
změnou posuvníků pro u a t měníte polohu rovin řezu x = u a y = v.
Určete jaká kvadrika je popsána funkcí [math]z=\sqrt{x^2+y^2}[/math]
– Šárka Voráčová

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

6.11.

–

6.12.

–

6.13.

–

6.14.

–

6.15.

–

6.16.

–

6.17.

–

6.18.

–

6.19.

–

6.20.

–

6.21.

–

6.22.

–

7.

Kartografie

Rovnice jednoduchých kartografických zobrazení

  • 1. Zeměpisné souřadnice
  • 2. Ortodroma
  • 3. Loxodroma
  • 4. Loxodroma v Mercatorově zobrazení
  • 5. Válcová plochojevná projekce
  • 6. Cylindrical equal- area projection
  • 7. Marinovo válcové zobrazení
  • 8. Mercator conformal map
  • 9. Stereografická normální projekce
  • 10. Azimuthal Equal-area map
  • 11. Orthographic projection
  • 12. Gnomonic projection
  • 13. Jak měřit plochy v mapě? - 1. část
  • 14. Jak měřit plochy v mapě? - 2. část

7.1.

Zeměpisné souřadnice

Poloha bodu na referenční kulové ploše je jednoznačně dána zeměpisnou délkou a zeměpisnou šířkou.[br]Všemi body různými od pólů prochází právě jedna rovnoběžka a právě jeden poledník.
Pravoúhlá projekce do roviny rovníku se nazývá ortografická normální projekce. Je to nejjednodušší azimutální zobrazení, ale v atlase takovou mapu nenajdete, protože výrazně zkracuje délky ve směru poledníků.
– Šárka Voráčová

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

7.11.

–

7.12.

–

7.13.

–

7.14.

–

8.

Diagnostic Test

test your knowledge

  • 1. Konstrukce trojúhelníka
  • 2. 1008 Reflection
  • 3. 21 Cicle P4 Papphus problem (line, A on circle)
  • 4. Length of an Arc
  • 5. 23z Circle P2 (Papphus problem)
  • 6. 458 Triangle
  • 7. 282 Triangle (AB, vb, tc)
  • 8. 53 Two Circles

8.1.

Konstrukce trojúhelníka

Sestrojte strany a, b, c trojúhelníku ABC.[br]Sestrojte kružnici opsanou.[br]Sestrojte těžnici.
Co je to ortocentrum?
– Šárka Voráčová

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

8.8.

–

9.

Kinematics Geometry

Zkoumání trajektorie pohybu v rovině. Každý rovinný pohyb lze převést na odvalování dvou křivek. [url]http://marian.fsik.cvut.cz/~kongo/download/pm/kinematika_1.pdf[/url]

  • 1. Slider-Crank (Klikový mechanismus)
  • 2. Articulated Quadrilateral (Kloubový čtyřúhelník)
  • 3. Evolute of an ellipse
  • 4. Shodné útvary v rovině
  • 5. Elliptic motion
  • 6. Envelope of segment in elliptic motion.
  • 7. Cardioid motion (Kardiodický pohyb)
  • 8. Conchoidal motion
  • 9. Cycloid.
  • 10. Cycloid
  • 11. The tautochrone curve
  • 12. Rolling Coin 滾動的硬幣
  • 13. Evolvent of the circle
  • 14. 8043 - Two trajectories
  • 15. 8072 - Conchoidal motion

9.1.

Slider-Crank (Klikový mechanismus)

Pohyb v rovině je zadán dvěma trajektoriemi. Trajektorií bodu A je kružnice, trajektorií bodu B je přímka. Pohybem bodu A (klikou) rozpohybujete hybnou soustavu. Zeleně je zobrazena trajektorie středu S ojnice AB, červeně je trajektorie bodu Y pevně s ojnicí spojeného.[br]The rotation of the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Crank_(mechanism)]crank[/url] drives the linear movement the slider, or the expansion of gases against a sliding [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Piston]piston[/url] in a cylinder can drive the rotation of the crank. Trajectory of the crank A is circle [math]\tau^A[/math] i and trajectory of a piston B is segment [math]\tau^B[/math]
Construction
Set up the slider-rank mechanism. Rotation of the cranck [i]A[/i] drives the piston [i]B[/i] on linear trajectory [math]\tau^B[/math]. Piston-rod length is [color=#cc0000][i]d[/i][/color].
– Šárka Voráčová

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

9.7.

–

9.8.

–

9.9.

–

9.10.

–

9.11.

–

9.12.

–

9.13.

–

9.14.

–

9.15.

–

Information