Kuželosečka [math]a_{11}x^2 +a_{22}y^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}x + 2a_{23}y+a_{33}=0[/math] je reprezentována symetrickou maticí
[math] A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{array} \right),\, \bar A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \\ \end{array} \right)[/math],
to znamená, že ve vektorovém zápisu je rovnice kuželosečky [math](x, y,1)\cdot A \cdot (x,y,1)^T=0[/math]. Afinní typ kuželosečky je určen znaménkem hlavního subdeterminantu 2x2 kvadratické části [math]|\bar A|[/math].
Důkaz: Přechodem k afinním homogenním souřadnicím [math]x=\frac{x_1}{x_3}; y=\frac{x_2}{x_3}[/math].
Průsečík kuželosečky [math]a_{11}x_1^2 +a_{22}x_2^2 + 2 a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0[/math] s nevlastní přímkou [math]x_3=0[/math] je dán rovnicí
[math]a_{11}x_1^2 +a_{22}x_2^2 + 2 a_{12}x_1x_2 =0[/math].
Jedna ze souřadnic musí být nenulová, tou rovnici vydělíme a dostaneme kvadratickou rovnici [math]a_{11}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 +a_{22} + 2 a_{12}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=0[/math] s diskriminantem [math]D=4(a_{12}^2-a_{11}a_{22})=-4|\bar A|[/math].
