VŠLG Matematika

Šárka Voráčová, Oct 9, 2020

Kurz Matematiky v 1. semestru bakalářského studia na VŠLG v Praze. Všechny studijní opory, formativní i sumativní testy v LMS Moodle: Matematika - Praha prez. [url]https://lms.vslg.cz/course/view.php?id=33[/url] [b]Doporučená literatura:[/b] Turzík D., Pavlíková P., Dubcová M.: Základy matematiky pro bakaláře, k dispozici online [url]http://147.33.74.135/knihy/uid_isbn-978-80-7080-787-3/978-80-7080-787-3.pdf [/url] Burda P. : Matematika 1; Hamříková R.: Sbírka úloh z matematiky, k dispozici na [url]https://www.studopory.vsb.cz/[/url] webový portál realisticky, Matematika SŠ, [url]http://www.realisticky.cz[/url]

Table of Contents

  1. Analytická geometrie
    1. Souřadice bodu, metrika
    2. Cvičení: Průsečík přímek v rovině
    3. Cvičení: Obecná rovnice přímky
    4. Parametric equation of a straight line
    5. Divide Line in Ratio
    6. Center of Mass
    7. Souřadnice bodu v prostoru
    8. Analytic Geometry in 3D
    9. Intersection line (průsečnice rovin)
    10. Section of a right circular cone
    11. Parametrizace kružnice
    12. Cvičení: Obecná rovnice kuželosečky
    13. Kuželosečka daná 5 body
    14. Equation of an ellipse
    15. Vzdálenost bodu od roviny
  2. Lineární algebra
    1. Vektorový součin (Cross product)
    2. Lineární závislost vektorů
    3. Hodnost matice
    4. Algebraické operace s maticemi
    5. Soustava dvou lineárních rovnic
    6. Soustava lineárních rovnic pro 3 neznámé
    7. Gaussova eliminace
    8. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
    9. Determinant
    10. Ekvivalence matice
  3. Infinitezimální počet
    1. Funkční závislosti, volný pád
    2. Graf funkce y = f(x)
    3. Hyperbolický cosinus
    4. Inverzní funkce
    5. Inverse functions
    6. Funkce s reálným exponentem
    7. Archimedes Pi
    8. Limita sin(x)/x
    9. One Special Limit
    10. Limita a spojitost
    11. Odstranitelná nespojitost
    12. Derivace funkce
    13. Derivace elementárních funkcí
    14. Derivace funkce sinus a cosinus
    15. Extrémy funkce
    16. Průběh funkce
    17. Asymptota grafu funkce
    18. Tečna ke grafu funkce
    19. Rychlost růstu nadmořské výšky
    20. Taylorův polynom
    21. Taylorův rozvoj funkce
    22. Fyzikální význam derivace
    23. Newton-Leibnizova formule
    24. Fundamental Theorem of Calculus
    25. Obsah plochy mezi dvěma křivkama
    26. Kopie materiálu Definite Integral Calculator
  4. Parametrické zadání křivky*
    1. Uniform circular motion
    2. Rational parametrization of the circle
    3. Projectile motion (Šikmý vrh)
    4. Cycloid (Cykloida)
    5. Polar coordinate system, Archimedean spiral

1.

Analytická geometrie

Vektorový prostor: Lineární závislost vektorů, lineární obal, báze, zaměření přímky a roviny. Analytická geometrie v rovině: Parametrické vyjádření přímky, obecná rovnice a její směrnicový tvar. Analytická geometrie v prostoru: Parametrické vyjádření přímky a roviny, obecná rovnice roviny, normálový vektor. Parametrický a implicitní popis kuželoseček. Osový tvar kuželoseček. Turzík D., Pavlíková P., Dubcová M.: Základy matematiky pro bakaláře [url] http://147.33.74.135/knihy/uid_isbn-978-80-7080-787-3/978-80-7080-787-3.pdf [/url]

  • 1. Souřadice bodu, metrika
  • 2. Cvičení: Průsečík přímek v rovině
  • 3. Cvičení: Obecná rovnice přímky
  • 4. Parametric equation of a straight line
  • 5. Divide Line in Ratio
  • 6. Center of Mass
  • 7. Souřadnice bodu v prostoru
  • 8. Analytic Geometry in 3D
  • 9. Intersection line (průsečnice rovin)
  • 10. Section of a right circular cone
  • 11. Parametrizace kružnice
  • 12. Cvičení: Obecná rovnice kuželosečky
  • 13. Kuželosečka daná 5 body
  • 14. Equation of an ellipse
  • 15. Vzdálenost bodu od roviny

1.1.

Souřadice bodu, metrika

Pro sestrojení obrazů v souměrnosti použijte přímé nástroje GeoGebry [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon].[br]Vzdálenost změřte sestrojením úsečky [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon]. V algebraickém okně je úsečka reprezentována svou velikostí v eukleidovské metrice.[br]Úhel změříte přímým nástrojem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon].
Řešení
– Šárka Voráčová

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

1.15.

–

2.

Lineární algebra

Vektorový prostor, operace s vektory, lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru, souřadnice. Matice, determinanty, lineární soustava rovnic. Hašek, R.: Lineární algebra,[url]http://home.pf.jcu.cz/~hasek/lalgebra/LA_TextyPrednasek_ZS18_1.pdf[/url] [url]https://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Sbirka_uloh/pdf/1.pdf[/url] Khan University: Precalculus, Matrices [url]https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices[/url] Procvičování - Thatquiz, [url]https://www.thatquiz.org/tq/practicetest?19xgtbpvwm9he[/url]

  • 1. Vektorový součin (Cross product)
  • 2. Lineární závislost vektorů
  • 3. Hodnost matice
  • 4. Algebraické operace s maticemi
  • 5. Soustava dvou lineárních rovnic
  • 6. Soustava lineárních rovnic pro 3 neznámé
  • 7. Gaussova eliminace
  • 8. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
  • 9. Determinant
  • 10. Ekvivalence matice

2.1.

Vektorový součin (Cross product)

Vektor d je vektorový součin vektorů u, v. Je kolmý k obou vektorům, tedy k celé rovině, jejíž zaměření vektory určují. Velikost vektorového součinu vektorů u, v je rovna obsahu rovnoběžnostěnu s délkami stran u, v. [br]Vektor w je lineární kombinací vektorů u, v. Geometricky to znamená, že leží v rovině určené vektory u, v.[br][br]The [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product]cross product[/url] [b]u[/b] × [b]v[/b] is defined as a vector [b]d[/b] that is [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Perpendicular]perpendicular[/url] to both [b]u[/b] and [b]v[/b], with a direction given by the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule]right-hand rule[/url] and a magnitude equal to the area of the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram]parallelogram[/url] that the vectors span.
Přímku v prostoru GeoGebra reprezentuje parametricky. Rovinu zapisuje obecnou rovnicí [i]ax+by+cz+d=0[/i], kde [i]d[/i] = ([i]a, b, c[/i]) je normálový vektor.[br]Parametrický zápis roviny [i]a(k,l) = O + ku + lv[/i] popisuje k*l násobek rovnoběžníka určeného vektory [i]u, v[/i].
General form of the equation of the plane
Plane is given by point [i]O [/i]= (0,0,0) and two directional vectors[i] u [/i]= (2, 0, 0) and [i]v [/i]= (1,1,1). Write [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry)#Point-normal_form_and_general_form_of_the_equation_of_a_plane]general form[/url] equation [color=#1e84cc][i]ax+by+cz+d=0[/i][/color] of the plane (O, u, v).
– Šárka Voráčová

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

3.

Infinitezimální počet

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Vyšetřování grafu funkce - definiční obor, extrémy, intervaly monotonnosti, inflexní body, asymptoty. Burda P. a kol.[i] Matematika I[/i], část II - "[color=#198f88]Diferenciální počet funkcí jedné proměnné[/color]", učební text pro distanční vzdělávání, VŠB Ostrava, 2008, [url]https://www.studopory.vsb.cz/[/url] Prezentace k přednáškám [url]https://1url.cz/JKUJK[/url]

  • 1. Funkční závislosti, volný pád
  • 2. Graf funkce y = f(x)
  • 3. Hyperbolický cosinus
  • 4. Inverzní funkce
  • 5. Inverse functions
  • 6. Funkce s reálným exponentem
  • 7. Archimedes Pi
  • 8. Limita sin(x)/x
  • 9. One Special Limit
  • 10. Limita a spojitost
  • 11. Odstranitelná nespojitost
  • 12. Derivace funkce
  • 13. Derivace elementárních funkcí
  • 14. Derivace funkce sinus a cosinus
  • 15. Extrémy funkce
  • 16. Průběh funkce
  • 17. Asymptota grafu funkce
  • 18. Tečna ke grafu funkce
  • 19. Rychlost růstu nadmořské výšky
  • 20. Taylorův polynom
  • 21. Taylorův rozvoj funkce
  • 22. Fyzikální význam derivace
  • 23. Newton-Leibnizova formule
  • 24. Fundamental Theorem of Calculus
  • 25. Obsah plochy mezi dvěma křivkama
  • 26. Kopie materiálu Definite Integral Calculator

3.1.

Funkční závislosti, volný pád

V denním životě, v přírodě, v technice a hlavně v matematice se neustále setkáváme s funkčními závislostmi jedné veličiny (např. y) na druhé (např. x). Například, zkoumáme - li vývoj epidemie, zaznamenáváme [url=https://flo.uri.sh/visualisation/1788373/embed]počet nakažených[/url] každý den, nebo denní počet hospitalizovaných, nebo týdenní přírustky počtu nakažených. Nezávislou proměnnou je zde čas, funkční hodnoty jsou počty pacientů. Ačkoliv je čas spojitou veličinou (z reálného intervalu), je jeho diskretizace dána frekvencí měření. Počet pacientů je diskréní náhodná veličina (spočetná), přesto ji můžeme pro matematické modelování a odhady trendu považovat za veličinu spojitou. [br][img]https://1gr.cz/fotky/idnes/20/022/cl5/PKA817fd5_koronagraf1.png[/img][br]Přísné dělení veličin na spojité a diskrétní je matematický formalismus, jenž dává definicím zdání dokonalosti, v praktických aplikací jsou ale data vždy diskrétní. To nám ale nebrání modelovat je jako veličiny spojité a používat pro jejich analýzu všechny výsledky infninitesimálního počtu.[br][br]V našem kurzu předpokládáme, že znáte základní [url=https://www.matweb.cz/funkce/]vlastnosti funkce[/url] (prostá, rostoucí, klesající, sudá, lichá, periodická), umíte určit definiční obor i že nakreslíte zpaměti graf elementárních funkcí (mocninná, racionální, exponenciální, logaritmická, goniometrická).[br][color=#f6b26b]Procvičte se ze znalostí grafu základních funkcí v prostředí [url=https://app.memrise.com/course/2121487/grafy-funkci/]Memrise[/url]. Je třeba se jen přihlásit účtem Google nebo Facebook.[/color][br][br]Ať již zkoumáme jakoukoliv závislost, všechny mají jednu společnou vlastnost: ke každé hodnotě nezávislé proměnné existuje nejvýše jedna reálná hodnota zkoumané závislé veličiny. [br]Zkoumáme-li např. volný pád , můžeme zaznamenávat výšku tělesa [color=#38761D][i]h[/i]([i]t[/i])[/color] v daném čase [i]t[/i], nebo můžeme zkoumat velikost okamžité rychlosti pádu [color=#cc0000][i]v(t)[/i][/color] v okamžiku [i]t[/i]. Nemůžeme v daném čase t zaznamenat dvě různé rychlosti, dvě různé výšky.[br]Volný pád v homogenním tíhovém poli (odpor prostředí zanedbáváme) je rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se zrychlením rovným tíhovému zrychlení [i]g[/i]. Proto je grafem [color=#38761D][i]h[/i]([i]t[/i])[/color] parabola, kdežto závislost [color=#cc0000][i]v[/i]([i]t[/i]) = [i]g.t[/i][/color] je lineární.
Hmotnost tělesa nemá na pohyb vliv (Aristoteles x Galileo, [url=https://youtu.be/SK2WMVM3_X4]Youtube[/url]).
Grafy elementárních funkcí
Napište do příkazového řádku předpis funkcí f[sub]1[/sub]([i]x[/i]) = |x|, f[sub]2[/sub]([i]x[/i]) = sin [i]x[/i], f[sub]3[/sub]([i]x[/i]) = tan [i]x[/i], f[sub]4[/sub]([i]x[/i]) = cosh [i]x[/i] [br]Seznam užitečných konstant a funkcí GeoGebry -[url=https://wiki.geogebra.org/en/Predefined_Functions_and_Operators] https://wiki.geogebra.org/en/Predefined_Functions_and_Operators[/url][br]Nástroj posuvník [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] je užitečný pro zkoumání vlivu parametru na graf funkce. Funkce [color=#a64d79]p([i]x[/i]) = [i]a[sup]x[/sup][/i][/color] je vykreslena fialově pro nastavenou hodnotu posuvníku [i]a[/i].
Literatura
Prezentace k přednášce "[url=https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vTWKj_QqUI_BnbEzuHA4QiNtFfiQsWSswr0F-fz-Su9tjI6ImsObMUv9N3eC8kZxcVE3yh-IwwZ4cE9/pub?start=false&loop=false&delayms=3000]Funkce[/url]", Google Slides[br]Prezentace k přednášce "[url=https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vTM6dAfwJsT8mfnb-ERepICtTl5UBXJAUphGIU8pc2nQY36Yeah7aH_rPxyELZtu4Tu1khC2w9OU7dc/pub?start=false&loop=false&delayms=3000]Infinitesimální počet[/url]", Google Slides
– Šárka Voráčová

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

3.18.

–

3.19.

–

3.20.

–

3.21.

–

3.22.

–

3.23.

–

3.24.

–

3.25.

–

3.26.

–

4.

Parametrické zadání křivky*

Doplňkové materiály k analytické geometrii a studiu křivek.

  • 1. Uniform circular motion
  • 2. Rational parametrization of the circle
  • 3. Projectile motion (Šikmý vrh)
  • 4. Cycloid (Cykloida)
  • 5. Polar coordinate system, Archimedean spiral

4.1.

Uniform circular motion

Pohyb po kružnici
Uniform circular motion describes the motion of a body traversing a circular path at a constant speed. In a non-uniform circular motion, an object is moving in a circular path with a varying speed. Since the speed is changing, there is a tangential acceleration in addition to normal acceleration (see [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion]Wikipedia).[br][/url][br]Bod [i]M[/i] se pohybuje konstantní rychlostí v po kružnici. Jeho úhlová dráha [math]\varphi[/math] ja přímo úměrná času [i]t[/i] viz [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Rovnoměrný_pohyb_po_kružnici]https://cs.wikipedia.org/wiki/Rovnoměrný_pohyb_po_kružnici[/url].[br]Bod [i]N[/i] se pohybuje rovnoměrně zrychleně - s konstantním zrychlením [i]a[/i].[br][br]Vektor okamžité rychlosti je první derivace průvodiče [i]r[/i] dráhy podle času [i]t[/i].[br][code]Derivace (r)[/code].[br]Vektor okamžitého zrychlení je druhá derivace průvodiče [i]r[/i] dráhy podle času [i]t[/i].[br][code]Derivace(r,2).[/code][br]Popis animace vektoru rychlosti a zrychlení viz "[url=https://www.geogebra.org/m/adNf29qr#material/sVbzVkS8]Cykloida[/url]"
Vztah mezi úhlovou a obvodovou dráhou: [math]s=\varphi \cdot r[/math].[br]Úhlová dráha [math]\varphi (t) = \omega t[/math], kde [math]\omega[/math] je úhlová rychlost.
– Šárka Voráčová

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

Information