Dvě úlohy o krychli
Budeme se zabývat modelováním dvou gometrických jevů týkajících se (jednotkové) krychle. Jedná se o [b]krychli prince Ruprechta[/b] (Prince Rupert's cube) a o [b]větu o stínu jednotkové krychle[/b] (The cube shadow theorem). [b]Krychle prince Ruprechta:[/b][i] Největší krychle, kterou lze protáhnout otvorem v jednotkové krychli, vytvořeným tak, aby se jím jednotková krychle nerozpadla na několik částí, viz [url]https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube[/url].[/i] [b]Věta o stínu jednotkové krychle:[/b][i] Obsah stínu (kolmého průmětu) jednotkové krychle do roviny [i](x,y)[/i] má stejnou číselnou hodnotu jako délka jejího stínu vrženého na osu [i]z[/i], viz [url]https://youtu.be/rAHcZGjKVvg[/url].[/i]
Table of Contents
- Krychle prince Ruprechta
- Řešení otázky prince Ruprechta
- Model krychle prince Ruprechta
- Největší pravidelný osmistěn vepsaný krychli
- Stín jednotkové krychle
- Věta o stínu jednotkové krychle
Řešení otázky prince Ruprechta
[b]Jedná se o otázku nalezení velikosti největší krychle, kterou lze protáhnou otvorem v jednotkové krychli, vytvořeným tak, aby se jím jednotková krychle nerozpadla na několik částí.[/b][br][br]Problém je spojován s osobou prince Ruprechta Falckého (1619-1682), který se narodil roku 1619 v Praze jako mladší syn "zimního krále" Fridricha Falckého (viz [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Ruprecht_Falck%C3%BD]https://cs.wikipedia.org/wiki/Ruprecht_Falck%C3%BD[/url]). Ten ale tvrdil jenom to, že lze krychlí bezpečně "protáhnout" krychli stejných rozměrů. [br][br]Geometrickým řešením problému se zabýval nejprve anglický matematik John Wallis (1616-1703, viz [url=https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis]https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis[/url]), zhruba sto let po něm pak nizozemský vědec Pieter Nieuwland (1764-1794, viz [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Pieter_Nieuwland]https://en.wikipedia.org/wiki/Pieter_Nieuwland[/url]). Přitom až druhý jmenovaný vyřešil otázku maximálních rozměrů krychle, která může být protažena otvorem v jednotkové krychli. Toto řešení je pak často uváděno jako ona krychle prince Ruprechta (viz [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube]https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube[/url]).[br][br]Další informace viz "WolframMathWorld: Prince Rupert's Cube: [url=https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html]https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html[/url]" nebo "The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video): [url=https://youtu.be/rAHcZGjKVvg]https://youtu.be/rAHcZGjKVvg[/url]".[br][br]Se jménem prince Ruprechta je spojen ještě jeden objekt, možná známější něž krychle, [b] kapka prince Ruprechta [/b], viz [url=https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta]https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta[/url], nebo [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop]https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop[/url]
[size=100][size=150][b]PROBLÉM: [/b]Jakou největší krychli lze protáhnout otvorem v jednotkové krychli, vytvořeným tak, že se jím jednotková krychle nerozpadne na několik částí?[/size][/size][br]
[size=150][b]ÚKOL č. 1:[/b] Jaký největší čtverec lze vepsat jednotkové krychli?[/size]
[i]Řešení:[/i] Užitím Pythagorovy věty dospějeme k soustavě dvou rovnic druhého stupně.
[size=150][b]ÚKOL č. 2:[/b] Sestrojte obě krychle?[/size]
[size=150][b]Zdroje informací:[/b][br][list][*]Alsina, C. & Nelsen, R. B. A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. USA: MAA, Dolciani Mathematical Expositions #50, 2015, str. 130-131.[br][/*][*]WolframMathWorld: Prince Rupert's Cube: [url=https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html]https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html[/url][/*][*][size=150]Burkard Polster: [/size]The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video): [url=https://youtu.be/rAHcZGjKVvg]https://youtu.be/rAHcZGjKVvg[/url][/*][*]Problem of the Week 1225: Square Peg in Square Hole. The Math Forum at NCTM. [url=http://mathforum.org/wagon/current_solutions/s1225.html]http://mathforum.org/wagon/current_solutions/s1225.html[/url][br][/*][*]Kapka prince Ruprechta (ČT: Zázraky přírody) [url= https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta ] https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta [/url][/*][*]Prince Rupert's drop (Wikipedia) [url= https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop ] https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop [/url][/*][/list][/size][list][/list]
Věta o stínu jednotkové krychle
[b][size=150]Velikost obsahu kolmého průmětu (stínu) jednotkové krychle do roviny [i](x,y)[/i] je číselně rovna délce kolmého průmětu této krychle do osy [i]z[/i].[/size][/b][br][br]
[size=150][b]ÚKOL:[/b] Modelujte uvedený jev![/size]
[b][size=150]Zdroj informací:[/size][/b][br][list][*][size=150]Burkard Polster: The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video) / [url=https://youtu.be/rAHcZGjKVvg]https://youtu.be/rAHcZGjKVvg[/url][/size][/*][*][size=150]Burkard Polster: Mathologer (YouTube channel) / https://www.youtube.com/channel/UC1_uAIS3r8Vu6JjXWvastJg[br][/size][/*][/list]