[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/b22w2ghe]Modelos[/url][/color].[b][br][br]Proyecto 2D[/b]: [i]modelizar situaciones cotidianas que supongan un cambio (un antes y un después). [/i][br][br]Nota: este tipo de proyecto es difícil, pues a los alumnos no se les facilita un objetivo concreto y han de realizar toda la construcción desde cero.[br][br]Los objetos fabricados por los humanos desde hace milenios se basan en una geometría relativamente sencilla (en comparación con la geometría de la naturaleza). Esto da pie a proponer a los alumnos a que intenten modelizar alguna de las innumerables situaciones que implican a estos objetos. [br][br]En este ejemplo (observado por el autor en el mundo real), una joven pareja se sienta a cenar en un restaurante. La mesa cuadrada que les asignan tiene un mantel con forma de camino de mesa colocado de modo que la pareja quedará sentada en lados opuestos de la mesa. “¡Demasiado lejos!”, deciden ambos. Así que, se recolocan en lados contiguos de la mesa. Cuando llega el camarero, recoloca el mantel para adaptarlo a la nueva situación.[br][br]El proyecto consiste en modelizar con GeoGebra esta situación, tal como se observa en la construcción adjunta. Para ello basta averiguar las nuevas coordenadas de una de las esquinas del mantel (ya que el ángulo será de 45°). Esto requerirá diversos esquemas y los cálculos derivados del uso sistemático del teorema de Pitágoras.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece [color=#999999]al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url] y al[/color] [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/ZYN53XAs]Funciones[/url].[/color] [br][br]El curioso comportamiento de una cuerda al vibrar generó un interés excepcional entre los matemáticos, dando lugar a una de las controversias más encendidas y fructíferas en la historia de las Matemáticas.[br][br]Hasta el siglo XVIII, la matemática no se encuentra lo suficientemente avanzada para abordar este problema. En 1715, Brook Taylor encuentra que el movimiento de un punto arbitrario de la cuerda es el de un péndulo simple y, como consecuencia, la forma de la curva que toma la cuerda en un instante dado [i]debería[/i] ser sinusoidal.[br][br]Pero el sonido fundamental correspondiente a esa vibración pendular no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos ([i]parciales[/i]) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales ([i]timbre[/i]) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota.[br][br]En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental [b]F[/b]. De estos múltiplos ([i]armónicos[/i]), el primero es la propia frecuencia fundamental, el segundo el doble (2[b]F[/b]), el tercer armónico el triple (3[b]F[/b]), etc. [br][br][table][tr][td][/td][td][color=#3c78d8][b]¿Por qué múltiplos exactos?[/b][br][br]Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta [i]amplitud[/i] (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda.[br] [br]La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda [b][i]estacionaria[/i][/b]. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. (Esta oscilación es la que se propagará al aire, y es la que muestra esta aplicación.)[br][br]Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, pueden aparecer puntos ([b][i]nodos[/i][/b]) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia).[br][br]Para que los nodos aparezcan, tienen que estar distribuidos por igual a lo largo de la cuerda. Por lo tanto, las longitudes de esos trozos de cuerda tienen que ser divisores de la longitud total de la cuerda. Como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud, se deduce que los nuevos sonidos tienen que tener como frecuencia un múltiplo de la frecuencia fundamental, es decir, tienen que ser [i]armónicos[/i]. [/color][/td][/tr][/table][br]Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos [b]al mismo tiempo[/b]. He aquí la miga de la cuestión, causa de intriga y discusión entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas [i]a la vez[/i]? Esto es lo que se preguntaban matemáticos geniales como D'Alembert, Daniel Bernoulli, Euler, Fourier y Dirichlet.

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/BEUGAvQj]La Tierra y el Sol[/url].[/color][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/mrmy6ddx/GuTlKqTVaxe7XleK/material-mrmy6ddx.png[/img][/td][td][br][br]La inclinación con que vemos el sol sobre el horizonte a la misma hora cambia según transcurre el año. Si señalamos cada día, a la misma hora, la posición del sol desde un mismo lugar, al cabo del año obtendremos una figura que se conoce como [b]analema[/b]. [br][br]Para corregir esa variación de inclinación, muchos relojes de sol permiten desplazar la vara que da sombra (gnomon) sobre un analema dibujado en su superficie. [br][br]Tu objetivo es describir lo más precisamente que puedas el funcionamiento de este reloj.[/td][/tr][/table]

[color=#999999]Autores de la construcción y la actividad: José Luis Álvarez García y Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999](Esta es la construcción original -en español-, posteriormente traducida -al alemán e inglés- y divulgada por el propio creador de GeoGebra, Markus Hohenwarter.)[/color][br][br][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/AnK2XEBT]La chica en el espejo[/url].[/color][br][br]Gracias al teorema de Tales, en esta actividad podrás descubrir cuánto tiene que medir como mínimo un espejo de pared para que puedas verte enteramente al situarte frente a él.[br][br]Puedes mover la chica arrastrando el círculo amarillo. La estatura de la chica es de 160 cm.

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/b22w2ghe]Modelos[/url][/color].[b][br][br]Proyecto 3D[/b]: [i]modelizar la dispersión de la luz en un prisma.[/i][br][br]Nota: en los cursos inferiores se adaptará a la sección del prisma (proyecto 2D).[br][br]Se propone modelizar el famoso experimento de Newton sobre la dispersión de la luz: cuando un haz de luz blanca procedente del sol atraviesa un prisma de cristal, las distintas radiaciones monocromáticas son tanto más desviadas por la refracción cuanto menor es su longitud de onda, lo que origina su descomposición en los colores del arco iris.[br][br]Este modelo incluye la conversión de la longitud de onda de la luz (visible) al código de color RGB (variables [b]rojo[/b], [b]verde[/b], [b]azul[/b]) utilizado por GeoGebra. Obsérvese que hay colores RGB, como el rosa o el marrón, que no están presentes en el arco iris porque no son ondas puras (sino combinaciones de otras).[br]También incluye una función ([b]ref[/b]) que nos facilita el índice de refracción (aire-cristal) dependiendo de la longitud de onda λ.[br][br]La imagen de la izquierda nos ofrece una vista aumentada del espectro, en donde son visibles las líneas de Fraunhofer (bandas oscuras causadas por la absorción de algunas longitudes de onda por parte de elementos químicos de las capas externas del Sol y de las moléculas presentes en el aire, lo que nos permite averiguar la composición del Sol y otras estrellas).[br][br]Nota: Más adelante, en la sección Robots, se puede ver otro ejemplo de modelización de la realidad física (órbitas elípticas).

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]