-
Modelos
-
1. Modelos artificiales 2D
- Modelizando lo cotidiano
- La excavadora
- El monosabio
- Billar rectangular
- Transportador de radianes
- Simetría de las ruedas
- Porcentaje de llenado
-
2. La cuerda vibrante
- La cuerda vibrante
- Conmutatividad de los epiciclos
- La cuerda vibrante
- Versatilidad de los epiciclos
-
3. Modelos artificiales 3D
- Reloj solar
- Hiperboloide reglado
- Estadio superelíptico
- Modelo de cubo articulado
- Diseños dinámicos 3D
- La hipercarta
- Compresor de aire de paletas
-
4. Modelos naturales 2D
- La chica en el espejo (exploración)
- Órbitas elípticas
- La flor de Venus
-
5. Modelos naturales 3D
- Modelizando la realidad física
- La Tierra, una plantilla
- Deconstruyendo un modelo
- Modelizando la naturaleza
- Conchas
- Conchas (versión reducida)
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Modelos
Rafael Losada Liste, Jan 18, 2021

Algunos ejemplos de posibilidades de realizar modelos con GeoGebra
Table of Contents
- Modelos artificiales 2D
- Modelizando lo cotidiano
- La excavadora
- El monosabio
- Billar rectangular
- Transportador de radianes
- Simetría de las ruedas
- Porcentaje de llenado
- La cuerda vibrante
- La cuerda vibrante
- Conmutatividad de los epiciclos
- La cuerda vibrante
- Versatilidad de los epiciclos
- Modelos artificiales 3D
- Reloj solar
- Hiperboloide reglado
- Estadio superelíptico
- Modelo de cubo articulado
- Diseños dinámicos 3D
- La hipercarta
- Compresor de aire de paletas
- Modelos naturales 2D
- La chica en el espejo (exploración)
- Órbitas elípticas
- La flor de Venus
- Modelos naturales 3D
- Modelizando la realidad física
- La Tierra, una plantilla
- Deconstruyendo un modelo
- Modelizando la naturaleza
- Conchas
- Conchas (versión reducida)
Modelizando lo cotidiano
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Modelos.
Proyecto 2D: modelizar situaciones cotidianas que supongan un cambio (un antes y un después).
Nota: este tipo de proyecto es difícil, pues a los alumnos no se les facilita un objetivo concreto y han de realizar toda la construcción desde cero.
Los objetos fabricados por los humanos desde hace milenios se basan en una geometría relativamente sencilla (en comparación con la geometría de la naturaleza). Esto da pie a proponer a los alumnos a que intenten modelizar alguna de las innumerables situaciones que implican a estos objetos.
En este ejemplo (observado por el autor en el mundo real), una joven pareja se sienta a cenar en un restaurante. La mesa cuadrada que les asignan tiene un mantel con forma de camino de mesa colocado de modo que la pareja quedará sentada en lados opuestos de la mesa. “¡Demasiado lejos!”, deciden ambos. Así que, se recolocan en lados contiguos de la mesa. Cuando llega el camarero, recoloca el mantel para adaptarlo a la nueva situación.
El proyecto consiste en modelizar con GeoGebra esta situación, tal como se observa en la construcción adjunta. Para ello basta averiguar las nuevas coordenadas de una de las esquinas del mantel (ya que el ángulo será de 45°). Esto requerirá diversos esquemas y los cálculos derivados del uso sistemático del teorema de Pitágoras.


Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.
La cuerda vibrante
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Música y Matemáticas y al libro de GeoGebra Funciones.
El curioso comportamiento de una cuerda al vibrar generó un interés excepcional entre los matemáticos, dando lugar a una de las controversias más encendidas y fructíferas en la historia de las Matemáticas.
Hasta el siglo XVIII, la matemática no se encuentra lo suficientemente avanzada para abordar este problema. En 1715, Brook Taylor encuentra que el movimiento de un punto arbitrario de la cuerda es el de un péndulo simple y, como consecuencia, la forma de la curva que toma la cuerda en un instante dado debería ser sinusoidal.
Pero el sonido fundamental correspondiente a esa vibración pendular no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota.
En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental F. De estos múltiplos (armónicos), el primero es la propia frecuencia fundamental, el segundo el doble (2F), el tercer armónico el triple (3F), etc.
Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos al mismo tiempo. He aquí la miga de la cuestión, causa de intriga y discusión entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas a la vez? Esto es lo que se preguntaban matemáticos geniales como D'Alembert, Daniel Bernoulli, Euler, Fourier y Dirichlet.
| ¿Por qué múltiplos exactos? Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda. La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. (Esta oscilación es la que se propagará al aire, y es la que muestra esta aplicación.) Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, pueden aparecer puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia). Para que los nodos aparezcan, tienen que estar distribuidos por igual a lo largo de la cuerda. Por lo tanto, las longitudes de esos trozos de cuerda tienen que ser divisores de la longitud total de la cuerda. Como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud, se deduce que los nuevos sonidos tienen que tener como frecuencia un múltiplo de la frecuencia fundamental, es decir, tienen que ser armónicos. |


Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss
Reloj solar
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra La Tierra y el Sol.
![]() | La inclinación con que vemos el sol sobre el horizonte a la misma hora cambia según transcurre el año. Si señalamos cada día, a la misma hora, la posición del sol desde un mismo lugar, al cabo del año obtendremos una figura que se conoce como analema. Para corregir esa variación de inclinación, muchos relojes de sol permiten desplazar la vara que da sombra (gnomon) sobre un analema dibujado en su superficie. Tu objetivo es describir lo más precisamente que puedas el funcionamiento de este reloj. |


1. En la parte inferior derecha hay un cuadrante con un ángulo variable que, al iniciarse la aplicación, marca 35º. ¿Qué indica este ángulo?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
2. ¿Qué indican las letras mayúsculas en gris?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
3. ¿Para qué sirven el círculo azul y el círculo rojo?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
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Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
4. ¿Para qué sirven los deslizadores de Latitud?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
5. Pulsa el botón de Reiniciar (esquina superior derecha). Mueve el punto del círculo azul, dando una vuelta completa a su alrededor. ¿A qué periodo de tiempo corresponde esa vuelta completa?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
6. Al dar esa vuelta, ¿por qué se desplaza el gnomon?
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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• Unordered list
1. Ordered list
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[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
7. Al dar esa vuelta, el día en que el sol provoque la sombra más corta será el solsticio de verano. ¿Alrededor de qué día de qué mes se produce eso?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
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[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
8. Al dar esa vuelta, el día en que el sol provoque la sombra más corta será el solsticio de invierno. ¿Alrededor de qué día de qué mes se produce eso?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
9. Encuentra una hora y un día en los que la sombra del gnomon sea igual a su altura. ¿Qué inclinación aparente tendrá el sol en ese momento?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
10. Pon al máximo los deslizadores de la Latitud, hasta casi los 90º N. Ahora recorre el círculo azul. ¿Por qué no aparece ninguna sombra durante muchos días?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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• Unordered list
1. Ordered list
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Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
11. Siguiendo en esa Latitud, busca un día en que se produzca sombra y recorre ahora el círculo rojo. ¿Por qué aparece la sombra a todas horas?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
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• Unordered list
1. Ordered list
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Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
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Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
12. Pulsa el botón de Reiniciar. Mueve el deslizador Longitud. ¿Ves alguna variación? Activa la casilla "Hora oficial". ¿Y ahora?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
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• Unordered list
1. Ordered list
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Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
13. ¿Cuántos grados hay que desplazar la Longitud para que se produzca una variación de 1 hora entre las dos posiciones? ¿Por qué?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
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Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
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[code]Code [ctrl+shift+4]
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Text tools
Insert Math
Autores de la construcción y la actividad: José Luis Álvarez García y Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss
La chica en el espejo (exploración)
(Esta es la construcción original -en español-, posteriormente traducida -al alemán e inglés- y divulgada por el propio creador de GeoGebra, Markus Hohenwarter.)
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra La chica en el espejo.
Gracias al teorema de Tales, en esta actividad podrás descubrir cuánto tiene que medir como mínimo un espejo de pared para que puedas verte enteramente al situarte frente a él.
Puedes mover la chica arrastrando el círculo amarillo. La estatura de la chica es de 160 cm.


1. Activa la casilla "Rayos de luz" para ver los rayos de luz procedentes de la chica visibles por ella. Después, activa la casilla "Rayos reflejados" para ver cómo se reflejan esos rayos en el espejo dirigiéndose hacia un ojo de la chica (el otro ojo ve prácticamente lo mismo). ¿Qué está viendo la chica? Activa las dos siguientes casillas para comprobarlo.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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• Unordered list
1. Ordered list
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Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
2. Activa la casilla siguiente, "Imagen sobre el espejo". La chica ve una imagen en el espejo, como si existiese una fotografía suya en la superficie del espejo. ¿De qué altura sería esta fotografía? Recuerda que la chica mide 160 cm. No preguntamos de qué tamaño "cree ver" esa fotografía, sino qué tamaño real tendría.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
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Superscript
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• Unordered list
1. Ordered list
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[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
3. Tal vez pienses que eso depende de la distancia que haya entre la chica y el espejo. En la construcción puedes ver que no es así. Ya esté muy cerca del espejo o muy lejos, la chica siempre verá en el espejo una imagen cuya altura es exactamente un porcentaje de su altura. ¿Cuál? Usa las herramientas de GeoGebra para comprobarlo.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
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• Unordered list
1. Ordered list
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Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
4. Si no varía el tamaño de la imagen sobre el espejo, ¿por qué al alejarnos del espejo percibimos la imagen como más pequeña?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
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Font colorAuto
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
5. Activa la casilla "Ángulos". Observa que la construcción es una aplicación del teorema de Tales. Fíjate en los dos triángulos verdes que tienen como vértice su ojo. Uno de ellos tiene como lado opuesto la imagen de la chica "al otro lado del espejo" y el otro tiene como lado opuesto la imagen de la chica "en el espejo". Ambos triángulos son semejantes. ¿Por qué?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
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Superscript
Subscript
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
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Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
6. ¿Cuál es la proporción entre los lados de esos dos triángulos?
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
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• Unordered list
1. Ordered list
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
7. Activa la última casilla, y desactiva el resto excepto "Rayos virtuales". ¿Cómo será el área de la "imagen sobre el espejo" en comparación con el área de la chica cuya luz se refleja en el espejo?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
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• Unordered list
1. Ordered list
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
8. Imagina que la chica tiene otro espejo que mide de altura exactamente 80 cm. ¿A qué distancia debe colocarlo del suelo en la pared para poder verse reflejada en él por completo?
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Bold [ctrl+b]
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
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Text tools
Insert Math
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss
Modelizando la realidad física
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Modelos.
Proyecto 3D: modelizar la dispersión de la luz en un prisma.
Nota: en los cursos inferiores se adaptará a la sección del prisma (proyecto 2D).
Se propone modelizar el famoso experimento de Newton sobre la dispersión de la luz: cuando un haz de luz blanca procedente del sol atraviesa un prisma de cristal, las distintas radiaciones monocromáticas son tanto más desviadas por la refracción cuanto menor es su longitud de onda, lo que origina su descomposición en los colores del arco iris.
Este modelo incluye la conversión de la longitud de onda de la luz (visible) al código de color RGB (variables rojo, verde, azul) utilizado por GeoGebra. Obsérvese que hay colores RGB, como el rosa o el marrón, que no están presentes en el arco iris porque no son ondas puras (sino combinaciones de otras).
También incluye una función (ref) que nos facilita el índice de refracción (aire-cristal) dependiendo de la longitud de onda λ.
La imagen de la izquierda nos ofrece una vista aumentada del espectro, en donde son visibles las líneas de Fraunhofer (bandas oscuras causadas por la absorción de algunas longitudes de onda por parte de elementos químicos de las capas externas del Sol y de las moléculas presentes en el aire, lo que nos permite averiguar la composición del Sol y otras estrellas).
Nota: Más adelante, en la sección Robots, se puede ver otro ejemplo de modelización de la realidad física (órbitas elípticas).

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.
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