Für diesen Teil ist es sinnvoll, vorher die folgende Zusammenfassung auszuteilen:[br]

Mit Hilfe dieser Materialien werden zunächst die bereits bekannten Modifikationen (Änderung der Basis, vertikale Streckung und Verschiebung des Graphen) vorgeführt. Dann folgen horzizontale Verschiebung und Streckung und evtl. die Kombination aus allen Aspekten. [br]Eine Verknüpfung mit Vorwissen aus dem Bereich der Quadratischen Funktionen ist dabei außer bei der horizontalen Streckung möglich.

Mit Hilfe dieses dynamischen Arbeitsblatts kannst du dich davon überzeugen, dass man jede beliebige Exponentialfunktion der Form[math] f(x)=b\cdot a^x[/math] mit Hilfe einer vorgegebenen festen Basis darstellen kann.[br][br][b]Bemerkung:[/b][br]Das ist deshalb von Bedeutung, weil man aufgrund dieser Tatsache in der gesamten Mathematik eigentlich nur noch mit Exponentialfunktionen zu einer ganz bestimmten Basis arbeitet. Diese Basis ist die Eulersche Zahl e = 2,718...[br]Warum man gerade eine so seltsame Zahl als Standard-Basis nimmt, wirst du demnächst erfahren, wenn es um die Ableitung von Exponentialfunktionen geht.

Im Grafikfenster oben siehst du zwei Exponentialfunktionen. Bei der schwarzen kannst du die Basis [math]a_1[/math] und Streckfaktor b verändern. Bei der roten gibt es die Parameter p und q, die im Exponenten stehen, sowie die Basis [math]a_2[/math].[br][br][list=1][*]Erzeuge mit Hilfe der schwarzen Schieberegler eine Exponentialfunktion deiner Wahl.[/*][*]Wähle für die rote Funktion eine beliebige Basis [math]a_2[/math]. [/*][*]Ziel ist es nun, zu zeigen, dass man p und q so einstellen kann, dass sich der Graph der roten Funktion mit dem der schwarzen deckt. Versuche das durch "spielen" an den Schiebereglern für p und q.[/*][*]Versuche auch, ob du es hinbekommst, wenn du  [math]a_1>1[/math] und [math]a_2<1[/math] wählst.[/*][/list][br][b]Fazit:[/b][br]Mit einigen Versuchen wirst du dich davon überzeugt haben, dass man tatsächlich immer eine Lösung für p und q findet. Wenn es mal nicht geht, scheitert es höchstens daran, dass die Werte nicht genau genug wählbar sind oder außerhalb des Bereichs der Schieberegler liegen.[br]Was wir hier nicht berücksichtigt haben, ist die vertikale Verschiebung. Doch die könnte man ohne Probleme noch durch anfügen von " + d " an beide Funktionsterme einbauen.[br][br][b]Wir halten also fest:[br]Man kann mit einer beliebig vorgegebenen Basis jede beliebige Exponentialfunktion darstellen.[/b]

Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt bildest du mit grafischen Mitteln die Ableitung der Exponentialfunktion [math]f(x)=a^x[/math]

1.)[br]Stelle die gewünschte Basis a mit dem roten Schieberegler ein.[br][br]2.)[br]Ziehe den Ziehpunkt auf dem Graphen entlang und beobachte dabei die Tangente a[br][br]3.)[br]Die Steigung der Tangente an einer Stelle x ist bekanntlich der Wert der[br] Ableitung an dieser Stelle. Den Wert der Steigung (bzw. der Ableitung) [br]bekommst du angezeigt, wenn du das Kästchen "Steigungsdreieck anzeigen" [br]aktivierst.[br][br]4.)[br]Wir bilden nun grafisch die Ableitungsfunktion:[br]Eigentlich müsste man eine Wertetabelle anlegen: Als x-Werte jeweils die[br] x-Werte des Ziehpunktes und als zugehörige y-Werte die [br]Tangentensteigungen an diesen Stellen. Dann könnte man die Funktion [br]zeichnen.[br]Wir benutzen diese Idee, lassen uns aber die Punkte für den Graphen der [br]Ableitungsfunktion direkt vom Computer einzeichnen (Kästchen "Steigung [br]als y-Wert abtragen" aktivieren).[br][br]4.)[br]Der "Spurpunkt" ist nun ein Punkt der Ableitungsfunktion. Er zeigt mit [br]seinem y-Wert (grüne Linie) genau die Ableitung der roten Funktion an [br]der Stelle x an, an der sich der Ziehpunkt gerade befindet.[br]Wenn man nun den Ziehpunkt weiter zieht, so passt sich auch der [br]Spurpunkt entsprechend an. D. h. er fährt sozusagen auf dem Graphen der [br]Ableitungsfunktion entlang.[br][br]5.)[br]Diesen Graphen der Ableitungsfunktion kannst du auch sichtbar machen, [br]indem du den Spurpunkt mit Rechts anklickst und im Kontextmenü "Spur an"[br] auswählst. Wenn du nun mit dem Ziehpunkt hin und her fährst, malt der [br]Spurpunkt den Graphen der Ableitungsfunktion.[br][br]6.)[br]Es sieht wohl ganz danach aus, dass die Ableitung einer [br]Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist. Die Frage ist: [br]Was für eine genau? Wir suchen nun die Funktionsgleichung der Ableitung:[br][list][*]Der Graf der Ableitungsfunktion geht nicht durch den Punkt (0|1). Also kann es keine Funktion der Form [math]f'(x)=a^x[/math] sein.[/*][*]Vertikal verschoben ist der Graph auch nicht. Das sieht man daran, dass im negativen Bereich sich die Graphen der Funktion und der Ableitung fast decken.[/*][*]Der Graph könnte allerdings gestaucht bzw. gestreckt sein. Das würde eine Funktionsgleichung [math]f'(x)=ca^x[/math] nahe legen.[/*][/list][br]7.)[br]Aktiviere das Kästchen "zweite Funktion anzeigen". Versuche nun mit dem [br]pinken Schieberegler c so einzustellen, dass sich der pinke [br]Funktionsgraph mit dem Graphen der Ableitung deckt.[br]Die Funktionsgleichung der pinken Funktion ist also die gesuchte Gleichung der Ableitung[br][br][b]Die Ableitung einer Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] ist also eine Exponentialfunktion mit der selben Basis, lediglich mit einem Faktor c gestreckt: [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math][/b]

Hier kannst du die Eulersche Zahl [math]e[/math] kennen lernen. Du erlebst, dass eine Exponentialfunktion mit dieser Basis, also [math]f\left(x\right)=e^x[/math], unverändert bleibt, wenn man sie ableitet.

1.)[br]Bestimme nach dem Verfahren aus dem Kapitel "Ableitung von Exponentialfunktionen" die Ableitungen der Funktionen [math]f_a(x)=a^x[/math] für [math]a=1,5;2;2,5;3[/math][br][br]2.)[br]Gibt es eine Basis a, für die die Ableitung der Funktion [math]f(x)=a^x[/math] gerade wieder die Funktion selbst ist? - Probiere![br][br]3.)[br]Die eben gefundene Basis (genauerer Wert: 2,718) heißt Eulersche Zahl. Sie wird mit [math]e[/math] bezeichnet und ist eine irrationale Zahl, wie z.B. auch [math]\pi[/math]. D. h. die Dezimalzahl geht immer weiter, aber ist auch nicht periodisch.[br]Die zugehörige Exponentialfunktion[math]f(x)=e^x[/math] heißt natürliche Exponentialfunktion. (Umgangssprachlich wird sie auch oft "e-Funktion" genannt.)[br][br]4.)[br]Wie man die Eulersche Zahl rechnerisch bestimmt, findest du in deinem Mathebuch.

Folgende Erkenntnisse werden abschließend im Lehrervortrag zusammengeführt:[br][br][list][*]Eine Exponentialfunktion der Form f(x) = ax ist schwierig abzuleiten. Wir haben es grafisch gemacht. Rechnerisch müssten wir das über den Differenzialqoutienten tun.[/*][*]Eine Exponentialfunktion mit Basis e ist leicht abzuleiten (f ' = f). Selbst wenn sie mit Parametern modifiziert wurde, geht es mit Hilfe der Kettenregel noch recht einfach.[/*][*]Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis e darstellen.[/*][*]Da liegt es nahe, nur noch mit Funktionen zur Basis e zu arbeiten, sobald eine Ableitung benötigt wird. Hierin liegt die große Bedeutung der e-Funktionen.[/*][/list]