三角形の作る相似三角形（外心と垂心から考える）

Bunryu Kamimura, Feb 9, 2023

外心と垂心は等角共役点である。 この二つの間にはきれいな対称性がある。 それを見つけてみよう。 そして、中学生の発見した「中の定理」を味わってみましょう。

Table of Contents

  1. 中の定理
    1. 相似三角形を見つけよう
    2. 中の定理
    3. 中の定理の証明
    4. 中の定理…ミケル点
    5. 中の定理からできる円
    6. 中の定理…対称点の性質
    7. 外心と垂心の関係
  2. 中の定理の拡張
    1. 中の定理の拡張
    2. 中の定理の拡張その２
    3. 等角共役点の垂線の交点が作る三角形が相似になる条件
    4. 中の定理の拡張その３
    5. 「中の定理」の拡張
    6. cubicコマンド
    7. ノイベルグ曲線の作図の仕方
  3. 外心と垂心が作る相似三角形
    1. 垂心と外心
    2. 外心と垂心は等角共役の意味
    3. 三角形の垂直二等分線に対称な点の作る三角形

1.

中の定理

①垂直二等分線と垂線の交点が作る三角形が相似であること ②その交点がミケル点となること

  • 1. 相似三角形を見つけよう
  • 2. 中の定理
  • 3. 中の定理の証明
  • 4. 中の定理…ミケル点
  • 5. 中の定理からできる円
  • 6. 中の定理…対称点の性質
  • 7. 外心と垂心の関係

1.1.

相似三角形を見つけよう

赤線は垂直二等分線、青線は垂線。この中には△ABCと相似な三角形がたくさんある。できるだけ多く見つけてみよう。例えば、
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

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2.

中の定理の拡張

三角形の等角共役点がオイラー線と平行な時、「中三角形」は元の三角形と相似になる。

  • 1. 中の定理の拡張
  • 2. 中の定理の拡張その２
  • 3. 等角共役点の垂線の交点が作る三角形が相似になる条件
  • 4. 中の定理の拡張その３
  • 5. 「中の定理」の拡張
  • 6. cubicコマンド
  • 7. ノイベルグ曲線の作図の仕方

2.1.

中の定理の拡張

Ｄから垂線を引く。その垂線に対してＥの対称点の作る三角形を作図する。すると・・・
この図の作図の説明とその意味
①ある点から各辺への垂線を引く。[br]②今度はある点からその垂線への対称点で三角形を作る。[br]③するとその三角形は元の三角形と相似になる。[br]④小さな点は二つの「中三角形」の外心と垂心。[br]⑤Dを外心に持っていき、Ｅを対称な三角形の垂心に持っていくと、できた三角形はぴたりと一致する。[br][br]このアイディアと等角共役点を結びつけると次のテーマが浮かび上がる。[br][color=#ff0000]「[b][url=https://bunryuk.hatenablog.com/entry/2023/03/03/173909]中の定理の拡張[/url][/b]」[/color]
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

外心と垂心が作る相似三角形

外心と垂心は等角共役点です。 そのため、対称的な働きをします。

  • 1. 垂心と外心
  • 2. 外心と垂心は等角共役の意味
  • 3. 三角形の垂直二等分線に対称な点の作る三角形

3.1.

垂心と外心

三角形の各辺への対称点の作る三角形の性質について。Dを動かしてみよう。Dを外心に持ってくると中点三角形と相似になって、その外接円の中心は垂心。Dを垂心に持ってくると垂足三角形と相似になって、その外接円の中心は外心。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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