[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: Estira[/color][br][br]La última transformación afín invertible es el escalado. De nuevo, veremos solo el caso de transformación lineal, ya que la correspondiente transformación afín no es más que una composición del escalado con las traslaciones.[br][br]Como las transformaciones afines invertibles forman el grupo afín, [color=#0000ff]cualquier cambio de sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]} corresponderá a una composición de isometrías, cortes y escalados.[/color][br][br]La matriz de cambio de base correspondiente a un escalado lineal es:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}k_a\\0\end{matrix}\;\begin{matrix}0\\k_b\end{matrix}\right)[/math][/center]donde k[sub]a[/sub] y k[sub]b[/sub] son los factores de escala de los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b], respectivamente.[br][br]Es decir, [b]a[/b] = k[sub]a[/sub] [b]i[/b], al tiempo que [b]b[/b] = k[sub]b[/sub] [b]j[/b]. Observemos que se conserva la dirección y ortogonalidad de los vectores [b]i[/b] y [b]j[/b], pero no su módulo.[br][br]Algunos casos particulares son:[br][list][*]k[sub]a[/sub]>1 y k[sub]b[/sub]=1: se produce un [color=#cc0000][i]estiramiento [/i][/color]respecto al eje X. El área del cuadrado unidad aumenta en un factor k[sub]a[/sub]. (Lo análogo ocurre con k[sub]a[/sub]=1 y k[sub]b[/sub]>1 respecto al eje Y.) [/*][*]k[sub]a[/sub]<1 y k[sub]b[/sub]=1: se produce una [color=#cc0000][i]compresión [/i][/color]respecto al eje X. El área del cuadrado unidad disminuye en un factor k[sub]a[/sub]. (Lo análogo ocurre con k[sub]a[/sub]=1 y k[sub]b[/sub]<1 respecto al eje Y.) [/*][*]k[sub]b[/sub]=k[sub]a[/sub]>1: se produce se produce un [i]escalado uniforme[/i] en forma de [color=#cc0000][i]ampliación[/i][/color]. El área del cuadrado unidad aumenta en un factor k[sub]a[/sub][sup]2[/sup]. Se mantienen los ángulos (y por tanto, las formas).[/*][*]k[sub]b[/sub]=k[sub]a[/sub]<1: se produce se produce un [i]escalado uniforme[/i] en forma de [color=#cc0000][i]reducción[/i][/color]. El área del cuadrado unidad disminuye en un factor k[sub]a[/sub][sup]2[/sup]. Se mantienen los ángulos (y por tanto, las formas).[br][/*][*]k[sub]b[/sub]=1/k[sub]a[/sub]: se produce una [color=#cc0000][i]contracción[/i][/color]. El área del cuadrado unidad no varía (observa que el determinante de la matriz M vuelve a ser 1).[/*][/list]En la siguiente construcción puedes comprobar el efecto de todos estos casos. [br][br]Solo consideramos escalados positivos, pues los negativos (que cambian la orientación) se pueden conseguir por composición. Por otra parte, la composición de una isometría con un escalado uniforme positivo, también llamado [i]isotrópico[/i], da lugar a una [color=#cc0000][i]transformación de semejanza[/i][/color], es decir, una transformación que conserva la forma.[br][br][color=#999999]Nota: Observa que una reflexión en el eje X o en el eje Y se puede considerar un caso particular de escalado negativo, cuando un factor de escala sea 1 y el otro sea -1.[/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]