[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/vuuufnr8]Teselados regulares euclídeos, elípticos e hiperbólicos[/url].[/color][br][br]En 1958, Coxeter, uno de los grandes geómetras del siglo XX, le envía a su amigo Escher, uno de los grandes artistas de ese siglo, este disco de Poincaré. Observa que se trata de la teselación {6, 4}, solo que el hexágono regular se encuentra dividido en doce triángulos rectángulos, 6 blancos y 6 negros.[br][br]Posteriormente, en 1979, el propio Coxeter escribe [url=http://prac.im.pwr.wroc.pl/~zak/Coxeter_about_Escher.pdf]un artículo[/url] en donde cuenta esa historia. Coxeter tuvo que explicarle a Escher los secretos matemáticos de la construcción, empezando por hacerle conocer la geometría hiperbólica.[br][br]Coxeter explica a Escher que esta es una de las infinitas maneras de teselar un plano (euclídeo o no) con triángulos congruentes (un [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_triangular]grupo triangular[/url]), blancos y negros. Cada triángulo está determinado por tres números naturales: [b]p[/b], [b]q[/b] y [b]r[/b]. Los ángulos interiores de cada triángulo son, precisamente, 180º/[b]p[/b], 180º/[b]q[/b] y 180º/[b]r[/b]. [br][br]En este caso, los valores de [b]p[/b], [b]q[/b] y [b]r[/b], son, respectivamente, 6, 4 y 2. Así que los ángulos interiores de cada triángulo son 30º, 45º y 90º. Observa que su suma no es igual a 180º, ya que esta igualdad solo se cumple en la geometría euclídea (en esta, 1/p + 1/q + 1/r = 1; en la hiperbólica, 1/p + 1/q +1/r < 1).[br][br]Así, alrededor de cada vértice de 180º/[b]p[/b] = 30º (como el del centro del disco) concurren [b]p[/b] = 6 triángulos blancos y otros tantos negros. Alrededor de cada vértice de 180º/[b]q[/b] = 45º concurren [b]q[/b] = 4 triángulos blancos y otros tantos negros. Finalmente, alrededor de cada vértice de 180º/[b]r[/b] = 90º concurren [b]r[/b] = 2 triángulos blancos y otros tantos negros. Compruébalo en la construcción.[br][br]Coxeter sigue explicando que los matemáticos denotan precisamente ([b]p[/b], [b]q[/b], [b]r[/b]) al grupo de simetría generado por rotaciones de períodos [b]p[/b], [b]q[/b] y [b]r[/b] alrededor de los vértices de cada triángulo. En este caso, el grupo de simetría es (6, 4, 2), que corresponde, como hemos visto, a la teselación regular {6, 4}.[br][br]Si observas que la ejecución se ralentiza y tienes instalado GeoGebra, puedes acelerar el proceso descargando el [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/zc3yynhu]archivo GGB[/url].

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]