De la construcció a la transformació: La paràbola
En aquest llibre exploraràs com es construeixen i es transformen les paràboles. La seqüència comença amb un primer capítol dedicat a la construcció de paràboles amb GeoGebra, on aprendràs a generar una mateixa corba de tres maneres diferents: a partir de l’equació amb punts lliscants, mitjançant la definició geomètrica de focus i directriu, i amb l’eina directa de paràbola. Aquest primer bloc et permetrà familiaritzar-te amb l’entorn digital i entendre que un mateix objecte matemàtic es pot representar i construir des de perspectives diferents. A continuació, començaràs un recorregut que et portarà a investigar com els paràmetres d’una funció modifiquen la seva representació gràfica. Mitjançant l’observació, la manipulació i la formulació de conjectures, descobriràs quin paper tenen els diferents paràmetres en la inclinació, la posició, l’obertura i el moviment del vèrtex. L’objectiu final és que puguis relacionar la construcció geomètrica, l’expressió algebraica i la representació gràfica d’una mateixa funció, utilitzant GeoGebra com a eina per experimentar i donar sentit als canvis observats.
Índice
- Construïm la paràbola amb GeoGebra
- 1.1. Construïm una paràbola amb punts lliscants
- 1.2. Construcció d’una paràbola: focus i directriu
- 1.3. Construir una paràbola amb l’eina Paràbola de GeoGebra
- Primera exploració de la fució quadràtica
- 2.1. Observa i manipula
- 2.2. De la gràfica a l'equació
- Primera aproximació a la paràbola
- 3.1. Observa i manipula
- 3.2. Prediu abans de representar
- La funció quadràtica completa
- 4.1. Observa i manipula
- 4.2. Casos particulars
- 4.3. De la gràfica a l’equació
- 4.4. Conclusions finals
1.1. Construïm una paràbola amb punts lliscants
Guia de suport per aprendre a crear punts lliscants
Activitat: construïm una paràbola amb punts lliscants
Ara que ja saps crear punts lliscants, construeix la funció:[size=100][size=85] [math]y=ax^2[/math][br][br][/size][/size][list=1][*]Crea un punt lliscant anomenat a[br][/*][br][*]Dona-li valors entre -5 i 5[br][/*][br][*]Escriu la funció a la barra d’entrada[br][/*][br][*]Mou el lliscador i observa la gràfica[/*][/list]
Respon a les següents preguntes:[br] [br] 1. Què passa quan a és positiu?[br][br] 2. Què passa quan a és negatiu?[br][br] 3. Quan és la paràbola més estreta?[br][br] 4. Què passa quan a s'acosta a 0?[br][br] 5. Escriu una conclusió general sobre el paper de a.
2.1. Observa i manipula
Fins ara has construït la paràbola de diferents maneres i has comprovat que es tracta del mateix objecte matemàtic.[br][br]Ara canviarem de perspectiva i començarem a estudiar-la com a funció.[br][br]En aquesta part ens centrarem en com els paràmetres modifiquen la seva forma i la seva posició, a partir de l’observació i la manipulació.
Igual que abans has construït la paràbola a partir de diferents elements, ara observaràs què passa quan modifiques el valor del paràmetre a.[br][br]L’objectiu és descobrir quin efecte té aquest paràmetre sobre la forma de la paràbola.[br][br]Respon a les següents qüestions:[br][br][list=1][br][*]Què passa amb la paràbola quan canvies el valor de a?[br][/*][br][*]Què passa quan a pren valors negatius?[br][/*][br][*]En quins casos la paràbola és més oberta o més estreta?[br][/*][br][*]Quin significat sembla tenir el paràmetre a?[/*][/list][br]
Resposta a les qüestions:
3.1. Observa i manipula
Fins ara has vist com el paràmetre aaa modifica la forma de la paràbola.[br][br]Ara farem un pas més i treballarem amb dos paràmetres.[br][br]Això et permetrà observar millor quin paper té cadascun abans d’afegir més complexitat.
Modifica primer a mantenint c fix. Després modifica c mantenint a fix. [br][br]Respon a les següents qüestions:[br][br]1. Què passa amb la paràbola quan varia a?[br][br]2. Què succeeix quan a és negatiu?[br][br]3. Què canvia quan només varia c?[br][br]4. Quin dels dos paràmetres modifica la forma?[br][br]5. Quin modifica la posició?[br][br][br]
4.1. Observa i manipula
Has arribat a la forma més completa de la funció quadràtica: [math]y=ax^2+bx+c[/math][br][br]L’objectiu ara és descobrir el paper de cada paràmetre i entendre com, entre tots tres, determinen completament la gràfica.[br]
Modifica els paràmetres d’un en un i observa els canvis. Respon a les qüestions següents:[br][br]1. Quin paràmetre controla l’obertura?[br][br]2. Quin es relaciona amb el tall a l’eix vertical?[br][br]3. Què sembla fa el paràmetre b?[br][br]4. Com es mou el vèrtex quan canvies b?[br][br][br]