De construir a transformar: la paràbola amb GeoGebra
En aquest llibre exploraràs com es construeixen i es transformen diferents gràfiques, amb especial atenció a la recta i a la paràbola. La seqüència comença amb un primer capítol dedicat a la construcció de paràboles amb GeoGebra, on aprendràs a generar una mateixa corba de tres maneres diferents: a partir de l’equació amb punts lliscants, mitjançant la definició geomètrica de focus i directriu, i amb l’eina directa de paràbola. Aquest primer bloc et permetrà familiaritzar-te amb l’entorn digital i entendre que un mateix objecte matemàtic es pot representar i construir des de perspectives diferents. A continuació, començaràs un recorregut que et portarà de la recta a la paràbola, investigant com els paràmetres d’una funció modifiquen la seva representació gràfica. Mitjançant l’observació, la manipulació i la formulació de conjectures, descobriràs quin paper tenen els diferents paràmetres en la inclinació, la posició, l’obertura i el moviment del vèrtex. L’objectiu final és que puguis relacionar la construcció geomètrica, l’expressió algebraica i la representació gràfica d’una mateixa funció, utilitzant GeoGebra com a eina per experimentar i donar sentit als canvis observats.
Inhaltsverzeichnis
- Construïm la paràbola amb GeoGebra
- 1.1. Construïm una paràbola amb punts lliscants
- 1.2. Construcció d’una paràbola: focus i directriu
- 1.3. Construir una paràbola amb l’eina Paràbola de GeoGebra
- La funció afí
- 2.1. Observa i manipula
- 2.2. Escriu conclusions
- 2.3. De la gràfica a l'equació
- Primera aproximació a la paràbola
- 3.1. Observa i manipula
- 3.2. Relaciona amb la funció afí
- 3.3. Prediu abans de representar
- La funció quadràtica completa
- 4.1. Observa i manipula
- 4.2. Casos particulars
- 4.3. De la gràfica a l’equació
- 4.4. Conclusions finals
1.1. Construïm una paràbola amb punts lliscants
Guia de suport per aprendre a crear punts lliscants
Activitat: construïm una paràbola amb punts lliscants
Ara que ja saps crear punts lliscants, construeix la funció:[size=100][size=85] [math]y=ax^2[/math][br][br][/size][/size][list=1][*]Crea un punt lliscant anomenat a[br][/*][br][*]Dona-li valors entre -5 i 5[br][/*][br][*]Escriu la funció a la barra d’entrada[br][/*][br][*]Mou el lliscador i observa la gràfica[/*][/list]
Respon a les següents preguntes:[br] [br] 1. Què passa quan a és positiu?[br][br] 2. Què passa quan a és negatiu?[br][br] 3. Quan és la paràbola més estreta?[br][br] 4. Què passa quan a s'acosta a 0?[br][br] 5. Escriu una conclusió general sobre el paper de a.
2.1. Observa i manipula
Fins ara has construït la paràbola de diferents maneres i has comprovat que es tracta del mateix objecte matemàtic.[br][br]Ara canviarem de perspectiva: començarem estudiant una funció més senzilla, la [b]funció afí[/b], per entendre com els paràmetres poden transformar una gràfica.[br][br]Aquesta idea ens servirà després per tornar a la paràbola i analitzar com canvia la seva forma.
Igual que abans has mogut focus, directriu o punts lliscants, ara observaràs què passa quan modifiques els paràmetres m i n.[br][br]L’objectiu és descobrir quin efecte geomètric té cadascun sobre la recta.[br][br]Respon a les següents qüestions:[br][br]1. Què passa amb la recta quan només canvies el valor de [math]m[/math]?[br][br]2. Què passa quan [math]m[/math]pren valors negatius?[br][br]3. Què succeeix quan només canvies [math]n[/math]?[br][br]4. Quin significat geomètric sembla tenir cada paràmetre?[br]
Resposta a les qüestions:
3.1. Observa i manipula
A la funció afí has vist que cada paràmetre té un efecte concret sobre la gràfica: un en modifica la inclinació i l’altre la posició.[br][br]Ara passarem de la recta a la paràbola. En aquesta primera aproximació a la funció quadràtica treballaràs només amb dos paràmetres.[br][br]Això et permetrà identificar millor quin paper té cadascun abans d’afegir més complexitat.
Modifica primer a mantenint c fix. Després modifica c mantenint a fix. [br][br]Respon a les següents qüestions:[br][br]1. Què passa amb la paràbola quan varia a?[br][br]2. Què succeeix quan a és negatiu?[br][br]3. Què canvia quan només varia c?[br][br]4. Quin dels dos paràmetres modifica la forma?[br][br]5. Quin modifica la posició?[br][br][br]
4.1. Observa i manipula
Has arribat a la forma més completa de la funció quadràtica: [math]y=ax^2+bx+c[/math][br][br]L’objectiu ara és descobrir el paper de cada paràmetre i entendre com, entre tots tres, determinen completament la gràfica.[br]
Modifica els paràmetres d’un en un i observa els canvis. Respon a les qüestions següents:[br][br]1. Quin paràmetre controla l’obertura?[br][br]2. Quin es relaciona amb el tall a l’eix vertical?[br][br]3. Què sembla fa el paràmetre b?[br][br]4. Com es mou el vèrtex quan canvies b?[br][br][br]