傍接楕円

Bunryu Kamimura, 27 mars 2019

G_chusuken_comさんから教えていただいた「傍接楕円」 (1)等角共役点を焦点にして楕円を作図すれば内接楕円ができる。 (2)それぞれの等角共役点から頂点に対して線を引き、その垂線を引くと傍心にあたる二つの焦点が見つかり、傍接楕円を描くことができる。 (3)これらの楕円と辺の接点と頂点を結んだ線は一点で交わる。 　以前、極と極線による内接楕円の性質を調べたが、その時、傍接円はどう変化するのか考察した。 　内接円と傍接円を楕円に拡張することができるのではと考えたが、正確に作図することはできなかった。 　この方法だと、内接円や傍接円を楕円に拡張できる。 　そして、いろいろ面白い性質が見つかる。

Table des matières

  1. 内接楕円
    1. 等角共役点が内接楕円を作ることの証明
    2. シュタイナー楕円の焦点を求める
  2. 傍接楕円
    1. 傍接楕円
    2. 等角共役点から傍接楕円を
  3. 傍心三角形と外接円
    1. ９点円と傍接円
    2. 外接円は傍心三角形の九点円
    3. 傍接楕円と傍心三角形
  4. ４つの楕円に接する楕円の作図
    1. 内接・傍接楕円に接する楕円は？
    2. 外心と垂心の作る内接楕円
    3. デルトイドのメタモルフォーゼ
    4. 射影を使って楕円にする
    5. 円を斜めから見ると・・・

1.

内接楕円

三角形に内接する楕円の作図。 (1)　三角形の等角共役点を使うと内接する楕円が作図できる。 (2)　三角形の極と極線を使って、内接する楕円（シュタイナー楕円）が作図できる。 この二つの間の関係を探る。

  • 1. 等角共役点が内接楕円を作ることの証明
  • 2. シュタイナー楕円の焦点を求める

1.1.

等角共役点が内接楕円を作ることの証明

ＤとＥは三角形の等角共役点。Ｅの各辺に対する鏡映とＤを結んだ線分の長さは等しくなります。つまり、楕円を描くことができます。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

2.

傍接楕円

内接円を楕円にするには、等角共役点を焦点にします。 では、傍接円はどうなるのでしょうか？

  • 1. 傍接楕円
  • 2. 等角共役点から傍接楕円を

2.1.

傍接楕円

Ｄを動かすと内接楕円と傍接楕円が変化します。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

3.

傍心三角形と外接円

外接円は傍心三角形の九点円です。 では、このことは傍接楕円ではどう保たれているのでしょうか。

  • 1. ９点円と傍接円
  • 2. 外接円は傍心三角形の九点円
  • 3. 傍接楕円と傍心三角形

3.1.

９点円と傍接円

九点円は傍接円と内接円の両方に接しています。
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

4.

４つの楕円に接する楕円の作図

円の場合は九点円は内接円にも傍接円にも接しています。 では、内接楕円にも傍接楕円にも接する楕円を作図できないか という疑問が浮かんできます。 とても面白そうな問題ですので挑戦してみてください。 まずは、そういう九点円にあたる楕円が存在するかどうか。 そして、そもそも九点円とは何か。

  • 1. 内接・傍接楕円に接する楕円は？
  • 2. 外心と垂心の作る内接楕円
  • 3. デルトイドのメタモルフォーゼ
  • 4. 射影を使って楕円にする
  • 5. 円を斜めから見ると・・・

4.1.

内接・傍接楕円に接する楕円は？

９点円は傍接円と接する。とすると９点円にあたる「傍接楕円に接する楕円」もあるのではないか。これは面白い問題だと思う。もしかしたら三角形の内部の楕円が９点円（赤円）に接したら傍接楕円も９点円に接するのではないだろうか。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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