ミケルの定理と楕円に外接する多角形の作図
四円に関するミケルの定理は中学生にも簡単に証明できる。 そして、この四円は六円に簡単に拡張できる。 さらに、これらの小円の中心を結ぶと四角形や六角形ができる。 実はこれらの四角形や六角形は楕円に外接することがわかる。 そして驚くことに作図の最初の円と交点が作る円の中心がこの楕円の焦点となる。 そのことを証明してみよう。
Table of Contents
- ミケルの定理
- Miquelの定理
- ミケルの定理の逆の証明
- ミケルの定理の逆（直線）
- 中の定理
- 外接四角形
- 外接四角形の対角線の証明
- パスカルの定理とブリアンションの定理の証明
- ブリアンションの定理１
- 楕円の性質
- ミケルの定理と外接四角形と内接楕円の作図
- 楕円に外接する四角形から二円を作る
- 楕円の外接四角形の頂点と焦点と接点を結んだ線の関係
- ミケルの６円定理
- 楕円からミケルの円を作る
- 内接楕円の作図
- 五角形に内接する楕円の接点の求め方
- ミケルの定理の逆
Miquelの定理
点線の４円の中心が作る四角形は外接四角形である。その中心は？ では、内接する四角形を五角形にしたらどうなるのだろうか？
外接四角形の対角線の証明
相似の中心の応用
ここでは外接四角形の性質について証明し、その後、その極線について証明する。[br][br]外接四角形の性質とは、[br][b][br]「円に外接する四角形ＡＢＣＤの接点をＥＦＧＨとすれば、ＡＣ，ＢＤ，ＦＨ，ＥＧは一点に会する。」[br][/b][br]このことを証明するために「相似の中心」を利用する。
外接四角形の対角線がＯを通ることの証明
証明（相似の中心の応用）
まず、ＦＨとＥＧの交点をＯとして、ＡＣがＯを通ることを証明する。[br][br]そのために、ＣからＡＤ，ＡＢに平行線を引いて、ＦＨ，ＥＧの延長線との交点をＫ，Ｊとすれば、[br]図のように、角度と長さがそれぞれ等しくなり、[br]△ＣＫＪは二等辺三角形となる。[br]そして、△ＡＥＦ∽△ＣＫＪとなり、対応する２辺がそれぞれ平行な二等辺三角形となる。[br]したがって、この二つの三角形は相似の位置にあり、[br]二つの三角形において、対応辺がそれぞれ平行ならば対応頂点を結ぶ３直線は一点で会するので、[br]Ｏは相似の中心であり、ＡＣもまたＯを通る。[br]同様に、ＢＤもまたＯを通る。[br]
外接四角形と接点の作る内接四角形の極線が一致することの証明
外接四角形の極線と接点の作る内接四角形の極線が一致することの証明
上の図で、外接四角形の極線の上にＫがあることを証明する。[br]ただし、ＭＯの極をＫとする。[br]ＫがＨＧ上にあることは明白。[br]さらにＩの極線とＨＧが一致することも明白。[br][br]最初に証明したことから、対応する接点と対角線が一点Ｉ（極）で交わる。[br]Ｏの極線はＣＦで、Ｎの極線はＥＤなので、その交点の極線はＭＯを通る。[br]したがって、Ｍの極線とＯの極線の交点とＫは一致する。[br][br]よって、Ｋからの接線の接点Ｐ，ＱはＭＯ上にある。[br]Ｈ，Ｋ，Ｇは一直線上にあり、もう一つの点Ｊもこの極線上にある。[br][br]次は、ＬＮがＫを通ることを示す。[br]ＭＯとＩの極線ＨＧの交点をＪとすると、上の議論でＪの極線はＩＫであり、ＬＮでもある。[br]よって、ＩＫとＬＮは一致し、ＬＮはＫを通る。[br][br]このように、極線を使うと証明が簡単になる。[br]なお、極と極線については、「[url=https://www.geogebra.org/m/yjeuutbU][b]円の極と極線の性質[/b][/url]」を見てください。[br]
五角形に内接する楕円の接点の求め方
楕円ｃを作図したい。接点を求めるにはどうしたらいいか？五角形なら接点を求めることができる。⇒(1)星形５角形を作図する。(2)対角線と結ぶ。→これを使えば六角形以上の場合の接点を求めることができる。