[b]Küme nedir?[br][/b] Alman matematikçi Georg (Corc Cantor) 1878 yılında yayımladığı makalesinde kümeyi, “iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğu” şeklinde tanımlanmıştır. Bu tanımda bahsedilen “iyi tanımlama” ifadesi ortak özellikleri ile verilen bir kümedeki nesnelerin herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması, anlamına gelir. [b][br] Küme[/b], matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. [br] Ancak, kümenin tanımsız bir terim olduğunu söyleyen son paragraf atlanmış. Son paragrafın çevirisi şöyle:[br][i]“Teknik nedenlerden dolayı, [url=https://www.matematiksel.org/caginin-otesinde-bir-matematikci-george-cantor/]Cantor[/url]’un küme tanımının uygun olmadığı ortaya çıkmıştır; günümüzde tutarlılığın önemli olduğu durumlarda, aksiyomatik küme kuramı kullanılabilir. Bu kuramda küme kavramı [/i]tanımsız terim[i] kabul edilmektedir. (…)”[/i][br] Burada, kümenin tanımsız bir terim olduğuna dair hiçbir bilgi verilmemiş. Cantor’un tanımı da küme tanımı olarak kabul edilmiş.[br] [u]Yani kısaca, küme kavramı tanımsız kabul edilmiştir.[/u][br][b] O halde kümenin bir tanımı var mı?[/b][br]Sorun, modern matematiğin kurucularından olan Gottlob Frege ve Bertrand Russell arasındaki bir yazışmayla başlıyor. Frege, 20 yıl üzerinde çalıştığı ve matematiği mantığa indirgeyen kitabını yayınladıktan kısa bir süre sonra Russell’dan şu mektubu alır:[br]“Sayın Bayım, bugüne değin sizinki kadar titiz bir eserle karşılaşmamıştım. Her söylediğinize katılıyorum. Ancak bir konu kafamı çok kurcalamakta ve kendi başıma işin içinden çıkamadım. Kümelerin kendi kendini içerebileceğini söylemişsiniz. Kendi kendini içermeyen tüm kümelerin kümesi, kendi kendini içerir mi? İşte bu soruya bir yanıt bulamadım.”[br] Frege bu mektubu aldığında tüm kuramının çöktüğünü anlar, üzüntüden hastanelik olur. Russell, bu paradoksu Cantor’un çalışmalarını incelerken keşfetmiştir. Cantor’un “iyi tanımlanmış her nesneler topluluğu bir kümedir” tanımı, paradoksa yol açmaktadır.[br] [b]Birçok küme kendisinin elemanı değildir. [/b]Örneğin, doğal sayılar kümesi, doğal sayı olmadığı için kendisinin elemanı değildir. Ama kendisinin elemanı olan kümeler de vardır. Örneğin domates olmayan tüm nesnelerin kümesi domates olmadığı için kendisinin elemanıdır. [br] Günümüzde, Frege’nin birçok fikrine yer veren [url=https://tr.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Freankel_k%C3%BCme_teorisi#:~:text=Zermelo%2DFreankel%20k%C3%BCme%20teoeisi%2C%20soyut,da%20Zermelo%20taraf%C4%B1ndan%20ortaya%20at%C4%B1ld%C4%B1.]Zermelo-Fraenkel Küme Kuramı[/url]’nın aksiyomları kullanılmaktadır. Bu kuram paradoksu ortadan kaldırmaktadır, ancak kuram içinde küme kavramı tanımsız bırakılmıştır.

Kümeler ile yapılabilecek iki temel işlem vardır. A ve B [br]kümelerinden birinde veya her ikisinde bulunan elemanların [br]oluşturduğu kümeye [b]A ve B'nin birleşimi[/b] denir ve AUB ile [br]gösterilir. Bunu bir Venn şemasıyla gösterebiliriz. [br]Bu gibi şemalar daha önceden Euler tarafından kullanılmış olmasına [br]rağmen lngiltere Viktorya dönemi mantıkçılarından rahip [br]John Venn'in adıyla anılır. [br]

A ve B'nin her ikisinde bulunan elemanların oluşturduğu kümeye[b] "kesişim" [/b][br]kümesi denir ve A n B şeklinde gösterilir. [br]Eğer A={l, 2, 3, 4, 5} ve B={1, 3, 5, 7, 10, 21} ise birleşimleri [br]A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 21} ve kesişimleri A n B - {I, 3, 5} olur.

[b] Tümleme İşlemi[br][/b]E, evrensel küme ve A ⊂ E olsun.[br]Evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni denir ve A' ile gösterilir.[br]A ∩ A'= Ø[br][br]A ∪ A' = E[br][br]Ø' = E, E' = Ø[br][br](A')' = A[br][br]s(A) + s(A') = s(E)[br][br]A ⊂ B ? B' ⊂ A'[br][br](A ∪ B)[sup]ı[/sup] = A[sup]ı[/sup] ∩ B[sup]ı[/sup] (De Morgan kuralı)[br][br](A ∩ B)[sup]ı[/sup] = A[sup]ı[/sup] ∪ B[sup]ı[/sup] (De Morgan kuralı)

[b] Fark İşlemi[/b][br][br]A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin elemanları içinden varsa B kümesinin elemanları çıkarılarak elde edilen kümeye “A fark B” kümesi denir ve A \ B ya da A – B şeklinde gösterilir.

A – A = Ø[br][br]E – A = A'[br][br]A – B = A ∩ B'[br][br]A ? B ise A – B ? B – A[br][br]A – Ø = A, Ø – A = Ø[br][br](A – B) ∪ B = A ∪ B[br][br](A – B) – C = A – (B ∪ C)

[b]Küme İşlemleri ile Sembolik Mantık Kuralları Arasındaki İlişki[/b]

[b] KÜMELERİN ELEMAN SAYISI[br][br][/b]A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,[br][list=1][*]s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)[/*][*]s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)[/*][*]s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)[/*][*]a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) =b+c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.[/*][/list][br] Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:[br][br]s(T È V) = a + b + c[br][br]Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:[br][br]s(T – V) + s(V – T) = a + c[br][br]Sadece tenis oynayanların sayısı:[br][br]s(T – V) = a[br][br]Tenis oynamayanların sayısı:[br][br]s(T’) = c + d[br][br]Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:[br][br]s(T È V) = a + b + c[br][br]Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:[br][br][img]https://www.derscalisiyorum.com.tr/wp-content/uploads/2011/06/15_k%C3%BCmeler.gif[/img][br][br]Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:[br][br][img]https://www.derscalisiyorum.com.tr/wp-content/uploads/2011/06/16_k%C3%BCmeler.gif[/img]

[br][b]Küme[/b], nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle  A, B, C   gibi büyük harflerle gösterilir.[br]Kümeyi oluşturan öğelere kümenin [b]elemanı[/b] denir. Kümede, aynı elemanlar bir kez yazılır. Elemanların sırası,[br]yerleri değiştirilerek yazılabilir bu kümeyi değiştirmez. A kümesinin[br]elemanları s(A) ya da n(A) ile gösterilir.[br][br]Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla[br]gösterilebilir.[br][br] [b]1 Liste Yöntemi[/b][br]Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.[br]A = {a, b, {a, b, c}} => s(A) = 3 tür.[br][br] [b]2 Ortak Özellik Yöntemi[/b][br]Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde[br]matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.[br][br]A = {x : (x in özelliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.[br]Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.[br][br] [b] 3 Venn Şeması Yöntemi[/b][br]Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak[br]gösterilir.[br]Bu gösterime [b]Venn Şeması[/b] ile gösterim[br]denir.[br][br] [b] Boş küme[/b][br]Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.[br]Boş küme { } ya da [math]\varnothing[/math] sembolleri ile gösterilir.[br][br]Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.[br][br]{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

İlk önce [b]Pradoks[/b]'u tanımlayalım.[br] Yunanca “[b][i]karşı, karşıt, zıt”[/i][/b] anlamına gelen “[b][i]para”[/i][/b] önekiyle, fikir düşünce anlamına gelen “[b][i]daxos” [/i][/b]sözcüğünden oluşmuş bir kelimedir [i][b]paradoks[/b][/i]. Kısaca paradoks:[br][list][*]Yanıltmaç[/*][*]Kısır döngü[/*][*]Çelişki[/*][*]Kağıt-kalem veya mantık illüzyonu da diyebiliriz.[/*][/list] Bir sorunun cevabına ne doğru ne de yanlış diyemiyorsak bir Paradoks ile karşı karşıyayız demektir. [br] Nicolas Baurbaki bu konuda[i] "Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."[/i][br] Mantık oyunları olarak da görülebilecek paradokslar, kendilerini çözdürmek için, heyecanlandırıcı ve eğlendirici bir serüvenin içine çekerek neredeyse insanı kışkırtırlar.[br] Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür.[br] Paradoksal durumlarda birlikte gerçekleşmesi beklenmeyen iki olgunun ya da birlikte var olması beklenmeyen iki niteliğin bir arada çıkması söz konusudur, bazen de varılan paradoksal sonuç düpedüz mantıksal bir çelişkidir.[br][b][i]"Bildiğim tek şey hiçbir şey bilmediğimdir"[/i][/b] paradoksu bir diğer klasik örnektir.[br] (Socrates'in paradoksu)[br] [b]Sonsuzlukla ilgili Paradoks:[/b][br] Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir. Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?[br][b]Bütün kümelerin kümesi paradoksu[/b][br] Profesör, [i]"bir kelime anlamıyla uyumlu ise ona otolojik, değilse heterolojik denir,"[/i] dedi ve şu örneği verdi: [i]"Dört harfli kelimeleri kısa kabul edersek, kısa kelimesinin kendisi de kısa olduğundan bu kelime otolojiktir, uzun kelimesinin kendisi uzun olmadığından bu kelime heterolojiktir. Aynı şekilde üç üç harfli olmadığından heterolojiktir, dört dört harfli olduğundan otolojiktir."[/i][br] Bir öğrenci söz istedi: "Hocam, heterolojik kelimesinin kendisi heterolojik midir, yoksa otolojik mi?"[br][br]Bu, tabii ki, bir paradoks; heterolojik kelimesi otolojikse heterolojik, heterolojikse otolojiktir.

Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen [b]kümeleri[/b] içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X [b]kümesi[/b] kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu [b]paradoksa[/b] Russel [b]Paradoksu[/b] denir.

Sembolik olarak:[br][br][img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b11fbd37629e61ce7ed3a0e4058d1602d378f8d[/img][br][br]Sezgisel Kümeler Kuramı'nı, sembolik mantığın "[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f[/img]" ikili ilişkisiyle ve tanımlı altküme aksiyom şemasıyla şu şekilde tanımlarsak:[br][br][img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c622da728ddd9727f6bba25fb95e7d308634bfc7[/img][br][br]Görüldüğü gibi kümeler kuramında yazılmış herhangi bir  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e[/img] özelliği için sadece x değişkeni serbesttir. Bu  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e[/img] özelliğini  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221b2b8a0e97121c78fd1588eb7e9faaff3674ff[/img]  şeklinde tanımlayalım. O halde y=x seçtiğimiz durumda aşağıdaki gibi bir çelişki elde ederiz.[br] [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d170505f2074f2f2bc20634d1134bdceeee7b3a2[/img] [br] Bu da Russel bu çelişkiyi fark etmeden önce Frege'nin üzerinde çalıştığı kümeler kuramının tutarsız olduğunun bir göstergesidir.