[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. Una exposición específica de las isometrías, desde el punto de vista geométrico, puede verse en el libro [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color][br][br]Observa que en este capítulo de Isometrías, en todas ellas, salvo en la traslación, el origen O del nuevo sistema de referencia coincide con el origen cartesiano (0,0). Es decir, este punto (0,0) permanece fijo. [br][br]Dicho de otro modo, las transformaciones isométricas que hemos visto hasta ahora son todas, salvo la traslación, transformaciones lineales. [br][br]¿Cómo podemos entonces realizar una transformación isométrica afín? Es decir, dada una figura plana, ¿cómo podemos girarla alrededor de un centro O arbitrario o reflejarla en una recta arbitraria?[br][br]Gracias al uso de coordenadas homogéneas y a la composición, el método para lograrlo es muy sencillo. Lo único que tenemos que hacer es componer la traslación con las isometrías lineales ya vistas.[br][br]En la siguiente construcción se muestra un ejemplo. Queremos girar [i]t[/i] grados el punto P y la imagen [color=#0000ff][b]F[/b][/color] alrededor de O.[br][br]Primero, llamaremos T[sub]o[/sub] a la traslación de (0,0) a O. Recordemos que su inversa, T'[sub]o[/sub] es la traslación de O a (0,0).[br][br]Después, calculamos la matriz de cambio de base correspondiente al giro alrededor del centro cartesiano (0,0):[br][center][math]M_g=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\sen\left(t\right)\end{matrix}\;\begin{matrix}-sen\left(t\right)\\cos\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][/center] Así que la matriz de transformación para ese giro será:[br][center][math]T_g=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\sen\left(t\right)\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}-sen\left(t\right)\\cos\left(t\right)\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]Ahora hacemos lo siguiente, en este orden: [br][list=1][*]Trasladamos el plano por el vector opuesto al vector de posición de O (de este modo, O coincidirá con el origen cartesiano). Es decir, aplicamos T'[sub]o[/sub].[/*][*]Aplicamos la transformación lineal T[sub]g[/sub].[/*][*]Volvemos a trasladar el plano, esta vez por el vector de posición de O (de este modo, O volverá a ocupar la posición inicial). Es decir, aplicamos T[sub]o[/sub].[/*][/list]En resumen, la transformación afín que deberemos realizar es:[center][color=#cc0000][size=150]T = T[sub]o[/sub] T[sub]g[/sub] T'[sub]o[/sub] [/size][/color][/center][color=#999999]Nota: En el caso de querer realizar una reflexión (o reflexión desplazada) afín, es decir, sobre una recta que no pase necesariamente por el (0,0), tomaremos como O un punto cualquiera de esa recta afín y procederemos de modo análogo al descrito.[/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]