Equações Diferenciais Parciais

Maria Cristina Varriale, Nov 25, 2019

As Equações Diferenciais Parciais (EDPs) básicas de condução do calor, propagação de ondas e teoria do potencial, estão associadas a três tipos distintos de fenômenos físicos: [list] [*]Processos de difusão; [*]Processos oscilatórios; [*]Processos independentes do tempo ou estacionários. [/list] Essas equações são de importância fundamental em muitos ramos da física e da matemática. As EDPs, cuja teoria está bem mais desenvolvida e cujas aplicações são mais significativas e variadas, são as [b]equações lineares de segunda ordem[/b], entre as quais: [list] [*] Equação do calor; [*] Equação da onda; [*] Equação do potencial. [/list] Esse material foi desenvolvido em colaboração com a aluna Daiane Frighetto do Doutorado em Matemática Aplicada da UFRGS. [b]Referências:[/b] [list] [*] BOYCE, Willian E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. 10ª Edição, Rio de Janeiro, 2017. [*] ZILL, Dennis G.; Cullen, Michael R. Equações diferenciais. Pearson Makron Books, São Paulo, v. 2, 2001. [/list]

Table of Contents

  1. Equação de Difusão Unidimensional
    1. Difusão: exemplo 1
    2. Difusão: exemplo 2
    3. Difusão: exemplo 3
  2. Equação da Onda Unidimensional
    1. Onda: exemplo 1
    2. Onda: exemplo 2
    3. Onda: exemplo 3
  3. Equação de Laplace Bidimensional
    1. Laplace: exemplo 1
    2. Laplace: exemplo 2

1.

Equação de Difusão Unidimensional

  • 1. Difusão: exemplo 1
  • 2. Difusão: exemplo 2
  • 3. Difusão: exemplo 3

1.1.

Difusão: exemplo 1

Determine a temperatura [math]u(x,t)[/math] em cada ponto de uma barra de comprimento [math]50\ cm[/math], que satisfaz a equação diferencial:
[center][math]\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{\partial u}{\partial t}[/math] ; 0< x < 50 ; t > 0,[/center]
dado que:[br][br][list][*]as extremidades [math]x=0[/math] e [math]x=50[/math] são mantidas à temperatura [math]0^\circ C[/math], para todo [math]t>0[/math];[/*][*]a barra está inicialmente à temperatura [math]20^\circ C[/math], uniforme em toda a barra;[/*][*]a barra é feita de um material cuja difusividade térmica é [math]\alpha^2=1\ cm^2\slash s[/math].[/*][/list]
Solução:[br][center][math]u\left(x,t\right)=\frac{80}{\pi}\sum_{n=0}^{^{\infty}}\frac{1}{2n+1}sen\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi x}{50}\right)exp\left(-\frac{\left(2n+1\right)^2\pi^2t}{50^2}\right)[/math][/center][br][center][/center]
– Maria Cristina Varriale

1.2.

–

1.3.

–

2.

Equação da Onda Unidimensional

  • 1. Onda: exemplo 1
  • 2. Onda: exemplo 2
  • 3. Onda: exemplo 3

2.1.

Onda: exemplo 1

[center][/center]Uma corda elástica de comprimento [math]L=30\ cm[/math], cujas extremidades são mantidas fixas, é colocada em movimento sem velocidade inicial, a partir de um deslocamento inicial [math]u(x,0)[/math], sendo:[br][br][center][math]u\left(x,0\right)=\frac{x}{10}[/math], 0[math]\le[/math]x[math]\le[/math]10;[br][br][math]u\left(x,0\right)=\frac{\left(30-x\right)}{20}[/math], 10[math]<[/math]x[math]\le[/math]30,[/center]
Supondo [math]v=2\ cm\slash s[/math], na equação diferencial:[br][br][center][math]\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t}[/math] ; 0 < x < 30; t > 0, [br][br][/center]determine o movimento subsequente da corda, isto é, o deslocamento [math]u(x,t)[/math] de cada ponto [math]x[/math] da corda no instante [math]t[/math].[br][center][/center]
Solução:[br][center][math]u\left(x,t\right)=\frac{9}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}sen\left(\frac{n\pi}{3}\right)sen\left(\frac{n\pi x}{30}\right)cos\left(\frac{n\pi t}{15}\right)[/math].[/center]
– Maria Cristina Varriale

2.2.

–

2.3.

–

3.

Equação de Laplace Bidimensional

  • 1. Laplace: exemplo 1
  • 2. Laplace: exemplo 2

3.1.

Laplace: exemplo 1

Determine a função [math]u\left(x,y\right)[/math] que satisfaz a equação de Laplace:[br][br][center][math]u_{xx}+u_{yy}=0[/math],[br][/center]
no retângulo 0<x<3 , 0<y<2, que satisfaz as condições de contorno: [br] [math]u\left(x,0\right)=0[/math], [math]u\left(x,2\right)=0[/math], 0 < x < 3;[br][br] [math]u\left(0,y\right)=0[/math], [math]u\left(3,y\right)=f\left(y\right)[/math], 0 [math]\le[/math] y [math]\le[/math] 2,[br]onde [math]f(y)=y[/math], 0 [math]\le[/math]y[math]\le[/math]1 e [math]f(y)=2-y[/math], 1 [math]\le[/math]y [math]\le[/math]2.
Solução:[br][center][math]u\left(x,y\right)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{^{\infty}}\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\frac{\left(-1\right)^n}{senh\left(\frac{3\left(2n+1\right)\pi}{2}\right)}senh\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi x}{2}\right)sen\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi y}{2}\right)[/math].[/center]
– Maria Cristina Varriale

3.2.

–

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