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Equações Diferenciais Parciais

Maria Cristina Varriale, Nov 25, 2019

As Equações Diferenciais Parciais (EDPs) básicas de condução do calor, propagação de ondas e teoria do potencial, estão associadas a três tipos distintos de fenômenos físicos:

Processos de difusão;
Processos oscilatórios;
Processos independentes do tempo ou estacionários.

Essas equações são de importância fundamental em muitos ramos da física e da matemática. As EDPs, cuja teoria está bem mais desenvolvida e cujas aplicações são mais significativas e variadas, são as equações lineares de segunda ordem, entre as quais:

Equação do calor;
Equação da onda;
Equação do potencial.

Esse material foi desenvolvido em colaboração com a aluna Daiane Frighetto do Doutorado em Matemática Aplicada da UFRGS. Referências:

BOYCE, Willian E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. 10ª Edição, Rio de Janeiro, 2017.
ZILL, Dennis G.; Cullen, Michael R. Equações diferenciais. Pearson Makron Books, São Paulo, v. 2, 2001.

Information

1.

Equação de Difusão Unidimensional

1. Difusão: exemplo 1
2. Difusão: exemplo 2
3. Difusão: exemplo 3

1.1.

Difusão: exemplo 1

Determine a temperatura

em cada ponto de uma barra de comprimento

, que satisfaz a equação diferencial:

; 0< x < 50 ; t > 0,

dado que:

as extremidades e são mantidas à temperatura , para todo ;
a barra está inicialmente à temperatura , uniforme em toda a barra;
a barra é feita de um material cuja difusividade térmica é .

Solução:

Equação da Onda Unidimensional

1. Onda: exemplo 1
2. Onda: exemplo 2
3. Onda: exemplo 3

2.1.

Onda: exemplo 1

Uma corda elástica de comprimento

, cujas extremidades são mantidas fixas, é colocada em movimento sem velocidade inicial, a partir de um deslocamento inicial

, sendo:

, 0x10; , 10x30,

Supondo

, na equação diferencial:

; 0 < x < 30; t > 0,

determine o movimento subsequente da corda, isto é, o deslocamento

de cada ponto

da corda no instante

.

Solução:

.

Equação de Laplace Bidimensional

1. Laplace: exemplo 1
2. Laplace: exemplo 2

3.1.

Laplace: exemplo 1

Determine a função

que satisfaz a equação de Laplace:

,

no retângulo 0<x<3 , 0<y<2, que satisfaz as condições de contorno:

,

, 0 < x < 3;

,

, 0

y

2, onde

, 0

y

1 e

, 1

y

2.

Solução:

.

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Equações Diferenciais Parciais

Table of Contents

Information

1.

Equação de Difusão Unidimensional

1.1.

Difusão: exemplo 1

1.2.

1.3.

2.

Equação da Onda Unidimensional

2.1.

Onda: exemplo 1

2.2.

2.3.

3.

Equação de Laplace Bidimensional

3.1.

Laplace: exemplo 1

3.2.