Trigonometria para estudos

Jorge Cássio, jhonatans fernandes, Apr 24, 2018

Trigonometria no triângulo retângulo; Trigonometria no Ciclo-Trigonométrico; Redução ao 1º Quadrante; etc

Table of Contents

  1. Apresentação
    1. O Autor - J. Cássio
    2. Agradecimentos
    3. Orientações para o Professor
    4. Orientações para o Estudante
    5. Estudo da Trigonometria
    6. Circle Area (By Peeling!)
  2. Trigonometria no Triângulo Retângulo
    1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
  3. Trigonometria no Ciclo-Trigonométrico
    1. Ângulo em radianos
    2. Ciclo-Trigonométrico
    3. Redução do 2º para 1º Quadrante
    4. Redução do 3º para 1º Quadrante
    5. Redução do 4º para 1º Quadrante
  4. Lei dos Senos
    1. Lei dos Senos- 1ª Parte
    2. Lei dos Senos - 2ª parte
    3. Lei dos Senos - 3ª Parte
    4. Lei dos Senos - 4ª Parte
    5. Lei dos Senos-Demonstrações
  5. Funções Trigonométricas
    1. A função f(x)=sen(x)
    2. A função f(x)=cos(x)
    3. Gráfico da Função Seno-influência dos parâmetros
    4. Gráfico da Função Cosseno-influência dos parâmetros
    5. Gráfico da Função Tangente-influência dos parâmetros

1.

Apresentação

Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional.

  • 1. O Autor - J. Cássio
  • 2. Agradecimentos
  • 3. Orientações para o Professor
  • 4. Orientações para o Estudante
  • 5. Estudo da Trigonometria
  • 6. Circle Area (By Peeling!)

1.1.

O Autor - J. Cássio

Jorge Cássio Costa Nóbriga
[center][img]https://www.geogebra.org/resource/khr6kuhe/ROUlFKZILCfpH5t8/material-khr6kuhe.png[/img][br][/center][justify][/justify][center][/center][justify][/justify][justify]É licenciado em Matemática pela UnB, mestre em Ensino das Ciências pela UFRPE e doutor em Educação com ênfase em Tecnologia pela UnB. Bolsista da CAPES pelo programa Ciências sem Fronteira com estágio doutoral na Universidade de Lisboa. Autor das 1ª e 2ª edições dos livros “Aprendendo Matemática com o Cabri-Géomètre II (volumes 1 e 2)”, “Aprendendo Matemática com o Cabri-Géomètre II e II-plus (volume único)”. Coautor do livro “Aprendendo Matemática com o GeoGebra”. Autor de capítulo do livro "Gamificação como estratégia educativa". Professor adjunto na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC-Blumenau). Colaborador do Instituto Internacional do GeoGebra. Cursos e palestras, escreva para jcassio@gmail.com ou jorge.cassio@geogebra.org [br][/justify]
– Jorge Cássio

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria do ângulo agudo

  • 1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

2.1.

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

O que é?
Trigonometria (do grego [i]trigōnon [/i]"triângulo" + [i]metron [/i]"medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.[b] (fonte wikipédia)[/b]
Trigonometria no triângulo retângulo
1.       Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão [math]\frac{DF}{AF}[/math]. Ele muda?
2.       Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão [math]\frac{AD}{AF}[/math]. Ele muda?
3.       Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão [math]\frac{DF}{AD}[/math]. Ele muda?
4. Por que os resultados das razões [math]\frac{DF}{AF}[/math] e [math]\frac{EG}{AG}[/math] são sempre iguais? Por que os resultados das razões [math]\frac{AD}{AF}[/math] e [math]\frac{AE}{AG}[/math] são sempre iguais? Por que os resultados das razões [math]\frac{DF}{AD}[/math] e [math]\frac{EG}{AE}[/math] são sempre iguais?
5. Por que os triângulos ADF e AEG são semelhantes?
6. Movimente o ponto C, diminuindo e aumentando o ângulo [math]\alpha[/math] . O resultado da razão [math]\frac{DF}{AF}[/math] muda?[code][/code]
7. Movimente o ponto C, diminuindo e aumentando o ângulo [math]\alpha[/math] . O resultado da razão [math]\frac{AD}{AF}[/math] muda?
8. Veja que na figura temos 2 triângulos retângulos. Os lados do triângulo retângulo são chamados de catetos e hipotenusa. Chamamos a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa de [b]Seno[/b][b] do ângulo[/b]. Na figura, temos sen([math]\alpha[/math]). O que acontece com o sen([math]\alpha[/math]) quando diminuímos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
9. Chamamos a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa de [b]Cosseno[/b][b] do ângulo[/b]. Na figura, temos cos([math]\alpha[/math]). O que acontece com o cos([math]\alpha[/math]) quando diminuímos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
10. Chamamos a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo de [b]Tangente [/b][b]do ângulo[/b]. Na figura, temos tan([math]\alpha[/math]). O que acontece com o tan([math]\alpha[/math]) quando diminuímos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
11. O que acontece com o sen([math]\alpha[/math]) quando aumentamos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 90º ?
12. O que acontece com o cos([math]\alpha[/math]) quando aumentamos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 90º ?
13. O que acontece com a tan([math]\alpha[/math]) quando aumentamos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 90º ?
Trigonometria no triângulo retângulo
– Jorge Cássio

3.

Trigonometria no Ciclo-Trigonométrico

  • 1. Ângulo em radianos
  • 2. Ciclo-Trigonométrico
  • 3. Redução do 2º para 1º Quadrante
  • 4. Redução do 3º para 1º Quadrante
  • 5. Redução do 4º para 1º Quadrante

3.1.

Ângulo em radianos

Observe o comprimento do arco [math]\overset{\huge\frown}{BC}[/math] determinado pelo ângulo [math]\alpha[/math]. Altere a posição do ponto E, alterando assim o raio. O comprimento do arco muda?
Altere o ângulo [math]\alpha[/math] mudando a posição do ponto B. A razão entre o comprimento do arco e o raio muda?
Altere a posição do ponto E, aumentando e diminuindo o raio. A razão entre o comprimento do arco e o raio muda?
Altere a posição do ponto B até que o comprimento do arco e o raio fiquem iguais. Nesse caso, qual o valor da medida do ângulo central?
Radiano
[b]Radiano [/b]é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém esse arco. Em outras palavras, é a medida do ângulo central que determina, na circunferência, um arco cujo comprimento é igual ao raio.
Altere a posição do ponto B até que o ângulo [math]\alpha[/math] fique igual a 180º. Qual o valor da razão entre o comprimento do arco e o raio?
Conversão de graus para radianos e radianos para graus
– Jorge Cássio

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Lei dos Senos

  • 1. Lei dos Senos- 1ª Parte
  • 2. Lei dos Senos - 2ª parte
  • 3. Lei dos Senos - 3ª Parte
  • 4. Lei dos Senos - 4ª Parte
  • 5. Lei dos Senos-Demonstrações

4.1.

Lei dos Senos- 1ª Parte

[size=150][b]Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. [/b][/size]
Escreva, usando a linguagem matemática (símbolos, equações, sinais, etc), o que acha que essa lei significa.
– Jorge Cássio

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

5.

Funções Trigonométricas

  • 1. A função f(x)=sen(x)
  • 2. A função f(x)=cos(x)
  • 3. Gráfico da Função Seno-influência dos parâmetros
  • 4. Gráfico da Função Cosseno-influência dos parâmetros
  • 5. Gráfico da Função Tangente-influência dos parâmetros

5.1.

A função f(x)=sen(x)

Definição inicial
Definição
A função seno é dada por [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math] tal que [math]x\longrightarrow f\left(x\right)=sen\left(x\right)[/math]. No applet seguinte, movimente o ponto [math]x[/math] sobre o eixo [math]x[/math] e observe os pontos marcados. Observe também o ciclo-trigonométrico. [br]
No applet seguinte, movimente o controle deslizante Etapas e observe os pontos gerados e os pares ordenados correspondentes na tabela.
Exploração do Gráfico
Na construção seguinte, é possível ver um Ciclo Trigonométrico e o gráfico da função [math]f\left(x\right)=sen\left(x\right)[/math]. Pode-se variar o [color=#6aa84f]controle deslizante [/color]de[br]-6,28 rad<[math]x[/math]<6,28 rad ( [math]\minus2\pi[/math]<[math]x[/math]<[math]2\pi[/math]) ou o ponto [math]x[/math] e observar o gráfico sendo gerado, ponto a ponto.
Reflexão 1
Observe que o ponto P tem abcissa igual a medida do ângulo do ciclo trigonométrico e ordenada igual ao seno desse ângulo. Movimente o [color=#6aa84f]controle deslizante x [/color](ou o ponto [math]x[/math]) e observe o gráfico da função seno (senoide) sendo gerado. Qual o valor máximo que a função assume?
Reflexão 2
Movimente o [color=#6aa84f]controle deslizante x[/color] e observe o gráfico da função seno (senoide) sendo gerado. Qual o valor mínimo que a função assume?
Reflexão 3
Qual o conjunto imagem da função [math]f\left(x\right)=sen\left(x\right)[/math]?
Reflexão 4
Considere 0 rad<[math]x[/math]<6,28 rad (ou 0<[math]x[/math]<[math]2\pi[/math]), qual o intervalo em que função é positiva?
Reflexão 5
Considere 0 rad<[math]x[/math]<6,28 rad (ou 0<[math]x[/math]<[math]2\pi[/math]), qual o intervalo em que função [math]f\left(x\right)[/math] é negativa?
Reflexão 6
Considere 0 rad<[math]x[/math]<6,28 rad (ou 0<[math]x[/math]<[math]2\pi[/math]), qual o intervalo em que função é crescente?
Reflexão 7
Considere 0<[math]x[/math]<6,28 (ou 0<[math]x[/math]<[math]2\pi[/math]), qual o intervalo em que função é decrescente?
Reflexão 8
Observe o gráfico da função seno. Em qual dos intervalos seguintes [b]não é possível [/b]ver partes do gráfico se repetindo?
– Jorge Cássio

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

Information