[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[/color] [br][br]Al resolver un problema con métodos algebraicos, la ecuación que aparece sintetiza la condición que debe cumplir la incógnita, independientemente de las observaciones o razonamientos que hayamos realizado para obtener esa condición.[br][br]En esta aplicación puedes ver un ejemplo de un problema observado desde [b]tres puntos de vista diferentes[/b]. Sin embargo, [b]la ecuación resultante será siempre la misma[/b], pues condensa la condición que debe cumplir la incógnita. [br][br]El enunciado del problema es el siguiente:[br][center][color=#cc0000][i]El rectángulo azul de la figura mide 80 m de largo y 32 m de ancho. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo rojo?[/i] [/color][/center]Observa que la clave para resolver el problema está en hallar el valor de [i]x[/i]. Una vez conocido [i]x[/i], es fácil determinar las longitudes de los lados del rectángulo rojo.[br][br]Primero, intenta resolver el problema a tu manera. Después, sigue las instrucciones de más abajo para resolverlo de tres modos distintos (pero con la misma ecuación).
1. Activa la casilla [color=#0000ff]Punto de vista 1[/color]. El triángulo amarillo es rectángulo, por lo que debe cumplir el teorema de Pitágoras. Los catetos de este triángulo son a su vez las hipotenusas de los triángulos rectángulos verdes. De todo ello, se deduce ([b]¿por qué?[/b]) la siguiente ecuación:[br][center][i]x[/i][sup]2 [/sup]+ 32[sup]2[/sup] + (80[i] [/i]−[i] x[/i])[sup]2 [/sup]+ 32[sup]2 [/sup]= 80[sup]2[/sup][/center]que equivale a: [br][center][color=#cc0000][i]x[/i][sup]2 [/sup]− 80 [i]x[/i] + 1024 = 0[/color][/center]
2. Activa la casilla [color=#0000ff]Punto de vista 2[/color]. Los ángulos verdes han de tener el mismo valor ([b]¿por qué?[/b]), así que los triángulos rectángulos verdes son semejantes y sus lados proporcionales:[br][center][math]\frac{32}{x}=\frac{80-x}{32}[/math][/center]Comprueba que esta ecuación equivale a la ecuación del apartado 1.
3. Activa la casilla [color=#0000ff]Punto de vista 3[/color]. El vértice superior del rectángulo rojo está en la semicircunferencia naranja, de radio 40, centrada en el punto medio de la base del rectángulo azul ([b]¿por qué?[/b]). Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo verde: [br][center](40 - x)[sup]2 [/sup]+ 32[sup]2[/sup] = 40[sup]2[/sup][/center]Comprueba que esta ecuación equivale de nuevo a la ecuación del apartado 1.
4. Comprueba que las soluciones de esa ecuación son 16 m y 64 m. Activa la casilla [color=#0000ff]Solución simétrica[/color] para ver el rectángulo rojo correspondiente a la segunda solución.
5. Activa la casilla [color=#0000ff]Generalización[/color]. Comprueba que la ecuación correspondiente a dimensiones cualesquiera [i]a[/i] y [i]b [/i]del rectángulo azul, es:[center][i]x[/i][sup]2 [/sup]− [i]a x[/i] + [i]b[/i][sup]2[/sup] = 0[/center]¿Cuándo no tiene solución esta ecuación? ¿Cuando tiene solución única? Mueve [color=#cc0000]el punto rojo[/color] para comprobarlo.
6. Sabiendo ahora que [i]x[/i] vale 16 m, resuelve finalmente el problema: comprueba que los lados del rectángulo rojo miden [math]32\sqrt{5}[/math] y [math]16\sqrt{5}[/math] metros.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]