[size=85][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [i][b]geogebra-books[/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t#material/eyczz7cq][u][color=#0000ff][i][b]bizirkulare Quartiken & Darboux Cycliden[/b][/i][/color][/u][/url] [color=#ff7700][i][b](21. April 2020[/b][/i][/color])[/right][/size][br]Eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] ist eine implizite ebene Kurve 4.-ter Ordnung des Typs:[br][list][*][math]\alpha_0\cdot\left(x^2+y^2\right)^2+\left(\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot xy+\alpha_5\cdot y^2+\alpha_6\cdot x+\alpha_7\cdot y+\alpha_8=0[/math], mit [math]\alpha_i\in\mathbb{R}[/math] [br][/*][/list]Dieser Kurventyp ist invariant unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] [math]w=T\left(z\right)=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] in [math]\mathbb{C}[/math].[br]Zu dieser Kurvenklasse gehören viele seit alters her bekannte spezielle Kurven: die [color=#980000][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] und ihre Inversen unter [br][color=#0000ff][i][b]Spiegelungen[/b][/i][/color] an Kreisen ( [b]Pascalsche Schnecken[/b]), die [b]Cassini-Kurven[/b] und die [b]Kardioiden[/b] und manche anderen.[br]Jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] besitzt genau 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]; diese [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] können auch zusammenfallen. [br]Eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] ist stets eine Kurve einer Schar [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularer Quartiken[/b][/i][/color]:[br]es handet sich dabei um Lösungskurven spezieller [i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i] des Typs[br][/size][list][*][size=85][math]g'\left(z\right)^2=c\cdot\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_3\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_3\right)[/math] mit geeignetem [math]c\in\mathbb{C}[/math] [br][/size][/*][/list][size=85]für den Fall, dass die komplexen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math], also die Nullstellen der Differentialgleichung [br][/size][list][*][size=85][b]I.[/b] : entweder verschieden und [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind, dh. sie liegen auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]. Ihr komplexes Doppelverhältnis ist reell.[/size][/*][*][size=85][b]II[/b]. : oder aber in 2 Paaren spiegelbildlich auf 2 orthogonalen [i][b]Kreisen[/b][/i] liegen; ihr Doppelverhältnis ist vom Betrag 1[/size][/*][*][size=85][b]III.[/b] : oder aber 2 der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammenfallen[/size][/*][*][size=85][b]IV.[/b] : oder aber 3 der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammenfallen[/size][/*][*][size=85][b]V. [/b]: oder aber in 2 doppelt zählenden Brennpunkten auftreten[/size][/*][*][size=85][b]VI.[/b] : oder schließlich alle 4 Brennpunkte in einem 4-fach zählenden zusammenfallen.[br][/size][/*][/list][size=85]In der Regel gehen in diesen Fällen durch fast jeden Punkt der Ebene genau 2 [i][b]orthogonale bizirkulare Lösungskurven[/b][/i], ausgenommen in 2 Sonderfällen: [br] - besitzen die konzyklischen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]harmonische Lage[/b][/i][/color], so gibt es [b]4[/b] Scharen von Quartiken, die sich unter Vielfachen von 45° schneiden,[br] - in [color=#0000ff][i][b]Tetraeder-Lage[/b][/i][/color] der Brennpunkte gibt es [b]6[/b] Scharen von Quartiken, welche sich unter Vielfachen von 30° schneiden.[br][br]Die Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] erlaubt [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch [/b][/i][/color]eine einfache Charakterisierung der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken:[/b][/i][/color][br][br][list][*][b]I: [/b]Die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen auf einem Kreis: [color=#ff0000][i][b]konzyklische Lage[/b][/i][/color]. Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind 2-teilig und besitzen 4 paarweise orthogonale [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color]: in Normalform können diese als die Koordinatenachsen zusammen mit dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] gewählt werden, ein Symmetriekreis ist imaginär. [br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] legen wir auf die reellen Achse.[br][/*][*][b]II:[/b] In 2 Paaren liegen die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#B45F06][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] auf 2 orthogonalen Kreisen. Mit einer [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] kann man erreichen, dass die Brennpunkte [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R}[/math] auf den Koordinatenachsen liegen. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind 1-teilig.[/*][/list][/size]

[size=85][b]III & IV[/b]: Die Kegelschnitteigenschaften sind bekannt, daher nur kurz:[br][math]\infty[/math] ist ein 2-fach zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color], im Parabelfalle sogar 3-fach zählend.[br]Die [color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] sind Winkelhalbierende der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color]; da [math]\infty[/math] als Kurvenpunkt gerechnet werden kann, sind die [color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] "[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]". [br]Hinzu kommen die achsensymmetrischen [color=#0000ff][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[/size]

[size=85][i][b]V & VI:[/b][/i] Das Produkt zweier [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ist eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] (daher vielleicht der Name!)[br][list][*] Zwei [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], die sich in 2 Punkten schneiden: diese Punkte sind die doppelt-zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] des zugehörigen [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color][/*][*][color=#ff0000][color=#000000]Zwei sich nicht schneidende [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] erzeugen ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color]: [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Grundpunkte des Büschels[/color][/color][/*][*][color=#ff0000][color=#000000]Zwei sich [color=#ff0000][i][b]berührende Kreise[/b][/i][/color] erzeugen ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color]: der Berührpunkt ist der 4-fach zählende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br][/color][/color][/*][/list]Enthalten in dieser Aufzählung sind auch die [color=#ff0000][i][b]Punktkreise[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Dieses Applet oben zeigt nahezu alle [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] in [color=#274E13][i][b]Normalform[/b][/i][/color] an. Es fehlen einige der in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallenden Quartiken und die Möbiustransformierten der [color=#980000][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] mit einem [b]3[/b]-fach und einem [b]1[/b]-fach zählenden [/size][color=#00ff00][i][b][size=85]Brennpunkt[/size][/b][/i][/color][size=85].[br]Die [i][b]implizite Kurve[/b][/i] mit der Gleichung [br][list][*][math]\left(z\cdot \bar{z}\right)^2-2\cdot A_x\cdot \mathbf{Re}\left(z\right)^2-2\cdot B_y\cdot \mathbf{Im}\left(z\right)^2+\mathbf{sign}=0[/math], [math]z\in\mathbb{C},\;\;A_x,B_y\in\mathbb{R}[/math] und [math]\mathbf{sign}\in\left\{-1,0,1\right\}[/math][br][/*][/list]ist [b]2[/b]-teilig für [b]sign[/b] = 1, [b]1[/b]-teilig für [b]sign[/b]=.-1 und ein am [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] gespiegelter [color=#ff7700][i][b]Mittelpunkts-Kegelschnitt[/b][/i][/color] ([b]sign[/b] = 0).[br]Die [color=#ff7700][i][b]Scheitelwerte[/b][/i][/color] [math]s_x=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x^2-\mathbf{sign}}}[/math] und [math]s_y=\pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y^2-\mathbf{sign}}}[/math] werden für die 3 Fälle gemeinsam berechnet. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] mit dem [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size] sind [math]SE:=\pm\sqrt{\frac{2\cdot B_y-1-\mathbf{sign}}{2\cdot\left(B_y-A_x\right)}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{2\cdot A_x-1-\mathbf{sign}}{2\cdot\left(A_x-B_y\right)}}[/math].[br]Auch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] errechnen sich mit einer einheitlichen Formel:[br][list][*] [math]f_x=\pm\sqrt{Q_x\pm\sqrt{Q_x^2-\mathbf{sign}}}[/math] mit [math]Q_x=\frac{2\cdot \mathbf{sign}\cdot s_x^2-B_y\cdot\left(s_x^4+\mathbf{sign}\right)}{s_x^4+\mathbf{sign}-2\cdot B_y\cdot s_x^2}[/math][/*][*] [math]f_y=\pm i\cdot\sqrt{Q_y\pm\sqrt{Q_y^2-\mathbf{sign}}}[/math] mit [math]Q_y=\frac{-2\cdot \mathbf{sign}\cdot s_y^2-A_x\cdot\left(s_y^4+\mathbf{sign}\right)}{s_y^4+\mathbf{sign}+2\cdot A_x\cdot s_y^2}[/math][br][/*][/list]Dank [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] rechnet die [math]\sqrt{ }[/math]-Funktion [b]komplex[/b]; es werden mit dieser Formel sogar die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf dem [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][/size][/size] berechnet!! [br]Benötigte Rechentechnik: wiederholte Anwendung der [math]p-q-[/math]Formel! Wegen der Symmetrieen sind nur spezielle biquadratische Gleichungen zu lösen. [br]Es mag scheinen, als würden 8 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] berechnet: in manchen Fällen sind Lösungen nicht definiert, weil die [color=#ff7700][i][b]Scheitelwerte[/b][/i][/color] undefiniert sind; in anderen Fällen ergeben sich dieselben Lösungen.[br]Im [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt-Falle[/b][/i][/color] ([b]sign[/b] = 0) ist der [i][b]Ursprung[/b][/i] als doppelt-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] zu erkennen, [br]d. h. [math]\infty[/math] ist [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] für [color=#ff7700][i][b](Mittelpunkts-)Kegelschnitte[/b][/i][/color] ein doppelt-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]![br][br][u][i][color=#9900ff]Geometrische Bedeutung der[/color][b] [color=#00ff00]Brennpunkte[/color] & [color=#0000ff]doppelt-berührende[/color] [color=#ff0000]Kreise [/color][/b][/i][b][color=#ff0000][color=#000000](db-Kreise)[/color][/color][/b][/u][br]Im [b]2[/b]-teiligen Falle ([b]I[/b]) kann man die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf 3 Arten in 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunktpaare[/b][/i][/color] aufteilen. [br]Zu jeder dieser Paarbildungen gehört eine der [color=#e69138][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color] und 2 [color=#ff0000][i][b]hyperbolische[/b][/i][/color] - oder orthogonal dazu 2 [color=#ff0000][i][b]elliptische[/b][/i][/color] - [color=#ff0000][i][b]Kreisebüschel[/b][/i][/color] - mit diesen [color=#00ff00][i][b]Brennpunktspaaren[/b][/i][/color] als Grundpunkten. [br]Durch fast jeden Punkt der Ebene gehen je genau ein Kreis aus den beiden Kreisbüscheln. [br]Die [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] ist Winkelhalbierende dieser beiden Kreise! [br]Einer der beiden [color=#ff0000][i][b]winkelhalbierenden Kreise[/b][/i][/color] zu den beiden Kreisbüschel-Kreisen ist ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], welcher die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]doppelt berührt[/b][/i][/color].[br]Das [color=#ff7700][i][b]Richtungsfeld[/b][/i][/color], welches durch die Konstruktion eben beschrieben wurde, gehört zu der oben erwähnten [i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i].[br]Im [b]1[/b]-teiligen Falle ([b]II[/b]) nehme man zu den beiden symmetrisch liegenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunktpaaren[/b][/i][/color] ein [color=#ff0000][i][b]hyperbolisches[/b][/i][/color] und ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] als Grundpunkten: [br]die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist wieder Winkelhalbierende und einer der beiden [color=#ff0000][i][b]winkelhalbierenden Kreise[/b][/i][/color] ist ein die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color].[br]Für [color=#ff7700][i][b]Mittelpunkt-Kegelschnitte[/b][/i][/color] ist bekannt, dass die [color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] Winkelhalbierende der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color] sind: die Tangenten können [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] als [color=#0000ff][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]"Kreise"[/b][/i][/color] gelten. Darüber hinaus gibt es die [color=#0000ff][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#f1c232][i][b]achsensymmetrischen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]![br][br]Die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color][/size] [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] spielen eine zentrale Rolle bei der Suche nach [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color][/size] auf [color=#0C343D][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color]![/size]

[size=85][u][i]Zu Details und Begründungen[/i][/u]: [color=#980000][i][b]geogebrabook[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb][color=#0000ff][i][b]Moebiusebene[/b][/i][/color][/url][br]Speziell zu den einzelnen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color]: [i]Kapitel[/i] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168951]Hermite Abbildungen und bizirkulare Quartiken[/url][/b][/i][/color][br][/size]