Welcher Zusammenhang besteht zwischen
* [b][color=#d69210]bizirkularen Quartiken[/color][/b]
und
* [b][color=#1551b5]DARBOUX Cycliden[/color][/b]?
Eine Übersicht aus [b][i][color=#0a971e]möbiusgeometrischer Sicht[/color][/i][/b].
[i]Kurz-Zusammenfassung:[/i]
Eine [b][i][color=#d69210]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] ist eine ebene Kurve 4. Ordnung des Typs:
[list][*][math]\left(x^2+y^2\right)^2+L(x,y)\cdot (x^2+y^2)+Q(x,y)=0[/math] mit linearem [math]L[/math] und quadratischem [math]Q[/math] und reellen Koeffizienten.[/list]Die Klasse dieser Kurven ist invariant unter [b][i][color=#1551b5]Möbiustransformationen[/color][/i][/b]. ([sup]1[/sup])
Auf der [b]RIEMANN[/b]schen Zahlenkugel entsprechen diesen Kurven genau die Schnitte der Kugel mit einer 2. Quadrik
- also einer Raumkurve 4. Ordnung und I. Art [b][i]C[/i][sub]I[/sub][/b][sup](4[/sup][sup])[/sup] ([size=50]so die meist übliche Bezeichnung[/size]). ([sup]2[/sup])
Auf der Kugel wie in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene kann man diese Kurven geometrisch beschreiben
als [b]Winkelhalbierende[/b] der Kreise zweier Kreisbüschel mit speziellen Eigenschaften.
Dieser Eigenschaft entspricht, dass die Kurven Lösungskurven von gewissen elliptischen Differentialgleichungen sind.
Eine einzelne [b][color=#d69210]bizirkulare Quartik[/color][/b] ist stets eine Kurve einer Schar [b][i][color=#0a971e]konfokaler[/color][/i][/b] bizirkularer Quartiken.
[b][i][color=#0a971e]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind die 4 Büschelpunkte der genannten 2 Kreisbüschel.
Sie stimmen überein mit den 4 Nullstellen der elliptischen Differentialgleichung.
Wichtig für [b][color=#1551b5]DARBOUX Cycliden[/color][/b] ist die folgende Eigenschaft:
Zu jeder Symmetrie einer [b][color=#d69210]bizirkularen Quartiken[/color][/b] gehört eine Schar von Kreisen, welche die Quartik [b][i][color=#1551b5]doppelt berühren[/color][/i][/b].
Eine [b][color=#1551b5]DARBOUX Cyclide[/color][/b] ist eine Fläche 4. Ordnung des Typs:
[list][*][math]\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+L(x,y,z)\cdot (x^2+y^2+z^2)+Q(x,y,z)=0[/math] mit linearem [math]L[/math] und quadratischem [math]Q[/math] und reellen Koeffizienten.[/list]Die Klasse dieser Flächen ist invariant unter den [b][i][color=#1551b5]Möbiustransformationen[/color][/i][/b] des Raumes.
Zu ihnen gehören die [b]DUPIN[/b]schen Cycliden, zB. die [b][i][color=#1551b5]Tori[/color][/i][/b], und die [b][i][color=#d69210]Quadriken[/color][/i][/b].
Schneidet man eine [b][color=#1551b5]DARBOUX Cyclide[/color][/b] mit einer Kugel oder einer Ebene, so erhält man als Schnittkurve stets eine [b][i]C[/i][sub]I[/sub][/b][sup](4[/sup][sup])[/sup] bzw. eine [b][i][color=#d69210]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b]. ([sup]3[/sup])
Jede [b][color=#1551b5]DARBOUX Cyclide[/color][/b] besitzt mindestens eine Symmetrie-Kugel und dazu eine Schar [b][i][color=#1551b5]doppelt-berührender Kugeln[/color][/i][/b].
[b][i][color=#1551b5]Doppelt-berührende Kugeln[/color][/i][/b] berühren die [b][color=#1551b5]Cyclide[/color][/b] längs eines Kreises auf der [b][color=#1551b5]Cyclide[/color][/b] oder sie schneidet die [b][color=#1551b5]Cyclide[/color][/b] in 2 Kreisen. ([sup]4[/sup])
Aus den Kreisscharen auf einer [b][color=#1551b5]DARBOUX Cyclide[/color][/b] kann man [b][i][color=#c51414]6-Eck-Gewebe[/color][/i][/b] aus Kreisen bilden. ([sup]3[/sup]),([sup]5[/sup])
([sup]1[/sup]) [color=#980000]geogebrabook[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]
([sup]2[/sup]) [color=#980000]geogebrabook[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url]
([sup]3[/sup]) "[url=https://arxiv.org/abs/1106.1354][i]Darboux Cyclides and Webs from Circles[/i][/url]" von [b]H. POTTMANN[/b], [b]LING SHI[/b] und [b]M. SKOPENKOV (2012[/b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv][/url][b])[/b]
([sup]4[/sup]) [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/jgsgefxx]Kreise auf Darboux Cycliden[/url]
([sup]5[/sup]) [color=#980000]geogebrabook[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechseck-Netze[/url]
