Derivación del teorema del seno de la trigonometría esférica
Aquí vemos los ángulos que determinamos por pura geometría, en el capítulo anterior. Puedes ver que solo nos falta el ángulo C.
Ahora derivaremos la ley de los senos. Para relacionar los ejes "yz" con los ejes "y' z' ", empleamos el punto M que se muestra en la figura. El radio de la esfera es R = 1.
De lo visto en el capítulo anterior, tenemos las siguientes ecuaciones:[br] [br]Grupo de ecuaciones (1)[br]x = cos [math]\xi[/math] cos [math]\eta[/math][br]y = sen [math]\xi[/math] cos [math]\eta[/math][br]z = sen [math]\eta[/math] [br][br]Grupo de ecuaciones (2)[br]x' = cos [math]\xi'[/math] cos [math]\eta'[/math][br]y' = sen [math]\xi'[/math] cos [math]\eta'[/math][br]z' = sen [math]\eta'[/math][br][br]Grupo de ecuaciones (3)[br]A = 90º + [math]\xi[/math][br]B = 90º - [math]\xi'[/math][br]a = 90º - [math]\eta'[/math][br]b = 90º - [math]\eta[/math][br]c = [math]\zeta[/math][br][br]Partiendo de la figura de arriba, tendremos las relaciones para "y' " y "z' ", (4), (5) y (6):[br]x = x' (4) [br]y' = cos [math]\theta[/math] (5)[br]z' = sen [math]\theta[/math], (6) [br][br]De la misma figura, tendremos las relaciones para "y" y "z" (7)[br]y = cos ([math]\theta+\zeta[/math] ) Ecuación (7a) [br]z = sen ([math]\theta+\zeta[/math]) Ecuación (7b) [br][br]Si aplicamos a las ecuaciones (7) las identidades trigonométricas del coseno de la suma de dos ángulos y del seno de la suma de dos ángulos, obtendremos el grupo de ecuaciones (8):[br]y = cos [math]\theta[/math] cos [math]\zeta[/math] -- sen [math]\theta[/math] sen [math]\zeta[/math] Ecuación (8a) [br]z = sen [math]\theta[/math] cos [math]\zeta[/math] -- cos [math]\theta[/math] sen [math]\zeta[/math] Ecuación (8b) [br][br]Al sustituir (5) y (6) en (8) obtenemos el grupo de ecuaciones (9):[br]y = y' cos [math]\zeta[/math] -- z' sen [math]\zeta[/math] Ecuación (9a) [br]z = z' cos [math]\zeta[/math] + y' sen [math]\zeta[/math] Ecuación (9b) [br][br]Como x = x', podemos combinar las ecuaciones (1) y (2):[br]cos [math]\xi[/math] cos [math]\eta[/math] = cos [math]\xi'[/math] cos [math]\eta'[/math][br][br]Sustituyendo el grupo de ecuaciones (3) en la ecuación anterior, tendremos:[br]cos (A - 90º) cos (90º - b) = cos (90º - B) cos (90º - a).[br][br]Usando la relación cos (90º - [math]\alpha[/math]) = sen [math]\alpha[/math], tenemos que:[br]sen A sen b = sen B sen a[br][br]Lo que es igual a:[br][math]\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}[/math][br][br]Si permutamos C por A o B, obtenemos el teorema del seno de la trigonometría esférica o segunda fórmula de Bessel (10):[br][math]\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}=\frac{senC}{senc}[/math][br][br]