0

Com animar la construcció d’un MOSAIC

Josep Iglesias, Feb 5, 2023

Aquest és el llibre que utilitzarem en el taller "Com animar la construcció d’un mosaic". Forma part de la: XV Jornada de l'ACG Fes créixer les teves classes amb el GeoGebra. 11 de febrer de 2023 El taller està dinamitzat per: Josep Iglesias

Introducció al Taller
1. Introducció als MOSAICS
Tipus de transformacions
1. La TRANSLACIÓ
2. La SIMETRIA
3. El GIR
4. La SIMETRIA amb DESPLAÇAMENT (translació)
5. Rosasses, frisos i mosaics
Analitzem transformacions de mosaics
1. Moviments que fixen un mosaic P6M
2. Moviments que fixen un mosaic CM
3. Simetries d'un mosaic P4. Palacio de Comares
4. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano
5. Simetría: Mosaicos y grupos cristalográficos
Activitats del TALLER
1. Com treballar les ISOMETRIAS
2. Com treballar les ISOMETRIES - complet
3. Com treballar els MOSAICS
4. Com treballar els MOSAICS - COMPLET
Generació de mosaics periòdics
1. P4 a la Casa Castellarnau de Tarragona
2. P31M a la Casa Castellarnau de Tarragona
3. Generació P6. Variació del P31M de la imatge
4. Generació d'un mosaic PMG. Rambla de Tarragona
5. P4G. Generació del mosaic Os. Alhambra
6. Mosaic P3. Gaudí
7. Generació de mosaic PMG. Casa Castellarnau
8. Mosaic P31M~CM~P1
Traçat i construcció del mosaic en moviment
1. Creu: el paviment del fuster.
2. Mosaic - "Ratpenats" - Alhambra de Granada
3. Rajola "Les estrelles tartèsiques"
MOSAICS - Recursos
1. WEBS i LLIBRES de GeoGebra totalment recomanables
2. Manel Martínez Vela i l'Alhambra de Granada
3. Reds modulars
4. Mosaics lliures a partir de mig quadrat
5. Construcció dinàmica de mosaics nazaris - Sessió 5 - Grup de Treball "Dibuix Tècnic amb GeoGebra"
6. Construcció de MOSAICS amb diferents APPLETS
7. Mosaics fets amb diferents Rajoles
8. CONCLUSIONS
9. MOSAICS d'Alejandro Gallardo

Information

1.

Introducció al Taller

1. Introducció als MOSAICS

1.1.

Introducció als MOSAICS

Quan em vaig plantejar l'elaboració d'un taller per aquesta XV Jornada de l'ACG em vaig plantejar explicar i mostrar com fer animacions, però sobre quin tema? El dubte se'm va acabar quan vaig tenir a les manes el llibre "LA ALHAMBRA con regla i compás" de Manuel Martínez Vela, que mostrava de forma molt gràfica com es poden construir els diferents mosaics i frisos que es poden trobar en el recinte de l'Alhambra de Granada. I en vaig fer aquesta primera construcció:

Un cop decidit treballar amb mosaics (tessel·lacions) on s'hi apliquen algunes de les quatre isometries, aquests són els objectius que em plantejo pel taller:

Donar a conèixer el magnífic material de molts companys, elaborat i compartit amb GeoGebra.
Donar a conèixer altres treballs interessants.
Donar a conèixer o mostrar com es poden treballar les isometries amb GeoGebra.
Com es poden animar les isometries a partir de figures o imatges.
Practicar algunes animacions a partir d'un mosaic ja elaborat (per ser més efectius).

ISOMETRIES i tipus PRIMER DE TOT hauríem de recordar què són les isometries, quines hi ha i què es pot fer amb elles: Les isometries ("iso", igual; "metria", mesura) són transformacions del pla que conserven la forma i la mida de qualsevol figura plana. Només hi ha quatre tipus diferents d'isometries planes, que són les següents:

Translació (T). El pla es desplaça una certa distància en determinada direcció.
Rotació o Gir (G). El pla gira un cert angle respecte a un punt (centre de rotació).
Reflexió o Simetria axial (S). Consisteix a capgirar el pla (gir espacial de 180º al voltant d'una recta), o, equivalentment, reflectir-lo en un mirall (eix de reflexió).
Reflexió amb desplaçament (D). El pla es reflecteix i es trasllada a la direcció de l'eix de reflexió. Equival a realitzar una S i una T, una darrere l'altra.

Aquesta activitat feta per Rafael Losada Liste us pot ajudar a conèixer les seves principals característiques.

Aquesta activitat pertany al magnífic llibre de GeoGebra Isometrías, de Rafael Losada Liste. Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro Cambio de sistema de referencia.

2.

Tipus de transformacions

1. La TRANSLACIÓ
2. La SIMETRIA
3. El GIR
4. La SIMETRIA amb DESPLAÇAMENT (translació)
5. Rosasses, frisos i mosaics

2.1.

La TRANSLACIÓ

TRANSLACIÓ Una translació en geometria plana, és el moviment o desplaçament definit per una distància, direcció i sentit de forma constant en tots els punts d'una mateixa figura o objecte. S'utilitza un segment orientat (vector) per definir la longitud, direcció i sentit de la translació. Tot seguit us mostro diferents animacions que treballen de manera diferent l'ús de la translació:

MOSAIC A PARTIR D'UNA IMATGE En aquesta construcció Ramunas Tejerauskas ens mostra com utilitzant una imatge i l'eina

translació segons un vector, podem crear un mosaic a partir dels vectors que determinen dos costats del quadrilàter (quadrat) de la rajola. Per crear el mosaic heu de seleccionar l'eina

i tot seguit heu de seleccionar la rajola i el vector i seguir el mateix procediment sense haver de tornar a seleccionar l'eina.

TRANSLACIÓ D'UNA RAJOLA En aquesta construcció "Translació d'una rajola" feta per Bernat Ancochea i Isabel Sorigué pot veure com moure una rajola a partir d'un segment amb inici i final. En aquesta construcció pots:

Moure els punts extrems del segment, que defineixen la direcció, sentit i longitud del vector translació.
Moure el punt vermell mostra com es desplaça la rajola, des del punt inicial fins al moviment total.

Translació d'una rajola

TRANSLACIÓ EN EL PLA En aquesta construcció aparentment senzilla construcció "Translació en el pla" feta per Ramon Nolla, es pot veure de diferents maneres el què és una translació. Si fas anar la barra lliscant d'questa construcció podràs veure-hi:

La translació de dos peces geomètriques simples.
La translació de la tessel·la bàsica segons dos vectors, sobre una imatge del mosaic.
La construcció del mosaic a partir d'una malla geomètrica.

Presentació de la translació en el pla i un mosaic amb simetria de translació:

TRANSLACIÓ - Construcció d'un polígon idèntic mitjançant una translació. Si volem representar el traçat d'una translació que faríem de forma tècnica podem veure aquesta construcció feta per Josep Iglesias. Una translació és la transformació projectiva (segments paral·lels entre punts homòlegs) en la que cada punt del pla li correspon un altre punt (homòleg a aquest) determinat per una direcció i una distància (vector). La direcció ve determinada per un vector director, a l'exemple següent el vector director és u i els extrems els defineixen els vèrtexs homòlegs A i A'.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

3.

Analitzem transformacions de mosaics

1. Moviments que fixen un mosaic P6M
2. Moviments que fixen un mosaic CM
3. Simetries d'un mosaic P4. Palacio de Comares
4. Teselaciones de M.C. Escher: División regular del plano
5. Simetría: Mosaicos y grupos cristalográficos

3.1.

Moviments que fixen un mosaic P6M

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

4.

Activitats del TALLER

1. Com treballar les ISOMETRIAS
2. Com treballar les ISOMETRIES - complet
3. Com treballar els MOSAICS
4. Com treballar els MOSAICS - COMPLET

4.1.

Com treballar les ISOMETRIAS

En aquest taller veurem maneres diferents d'utilitzar les isometries que hem vist en aquest llibre:

De forma gràfica, utilitzant la barra d'eines.
De forma escrita, útil si volem fer animacions.
Animacions de les transformacions per barres lliscants.
Ús de seqüències per a crear les tessel·lacions i rotacions.
I també podem jugar amb la transparència de la figura o imatge al donar-li moviment.

Properament miraré de crear diferents vídeos amb petites explicacions del que veurem durant aquest taller.

PRIMER DE TOT Us escric aproximadament el què anirem fent, primer de tot us heu de descarregar aquesta plantilla de GeoGebra, la qual utilitzarem per veure els primers passos d’animació de les diferents transformacions isomètriques; translació, simetria i gir. Per descarregar el document heu d’anar:

als tres botons de dalt a la dreta i obrir el desplegable
seleccionar detalls
veureu una casella que posa descàrrega
Clicar que “Estic d'acord amb els termes de la Llicència d'ús no-commercial de GeoGebra.”

Descarregar l'applet, prement a sobre del text Applet 1 (.ggb),

ISOMETRIES Amb aquest document pretenc treballar les tres transformacions isomètriques principals; translació, simetria i gir. TRANSLACIÓ Treballarem diferents maneres de fer la translació.

GRÀFICAMENT. Utilitzant l’eina translació que trobareu al menú de transformacions utilitzant la tecla, haurem de clicar sobre l’objecte, en aquest cas el quadrat superior on posa TRANSLACIÓ i després clicar sobre el vector que determina la translació, u.
ESCRIVINT A LA BARRA D'ENTRADA. Si volem descobrir l'escriptura de les ordres només cal anar a la definició que ens dona la finestra de propietats de tots els objectes que usem. La translació es defineix així:

 Translació(pol1, u) (Si en mirem el resultat veurem que no apareixen els vèrtexs) Translació(pol2, u) (En aquest cas veiem que s'han creat tots els punts, a partir de les translacions individualment i que el polígon és un polígon generat per aquests punts.)

Usant una VARIABLE que multipliqui el vector. La longitud del vector la podem variar utilitzant un valor que el multipliqui, si el vector que utilitzem ens indica el recorregut complet de la translació haurem d'utilitzar una variable que vagi entre 0 i 1.

Aquest valor el podem introduir mitjançant una variable, barra lliscant

, en aquest cas mov i la definirem amb valors entre 0 i 1 amb un increment de 0,01 perquè no vagi a salts. Escriurem aquesta definició: Translació(pol1, mov v) I si variem el valor de la barra lliscant, veurem que el quadrat es desplaça fins a la posició que volem, com podeu observar tampoc es traslladen els vèrtexs del quadrat. També ho podem fer amb el polígon irregular i veurem que en aquest cas si que es desplacen els vèrtexs. Translació(pol2, mov v) Si mirem com l'ha definit, veurem que posa: Polígon(B'_{1}, C'_{1}, D'_{1}, F'_{1}, J'_{1}, K'_{1}) si us hi fixeu són tot de vèrtexs nous que s'han creat amb aquesta translació. I cada punt, per exemple F'_{1}=Translació(F, Vector(mov v))

SIMETRIA axial També veurem diferents maneres de fer la simetria axial.

GRÀFICAMENT. Per fer una simetria necessitem un eix de simetria (segment, semirecta o recta) i utilitzarem l'eina simetria , clicarem sobre l'objecte a fer la simetria i després a l'eix de simetria.
ESCRIVINT A LA BARRA D'ENTRADA. Si continuem descobrint l'escriptura de les diferents transformacions, veurem que s'escriu així:

Simetria(pol3, q) pol3 és el polígon i q l'eix de simetria. Polígon(M', N', O', R', S', T') i els vèrtexs per exemple R' = Simetria(R, q) Farem una altra translació escrivint al teclat, usant l'altre eix de simetria a. Simetria(pol3, a) i Simetria(pol4, a)

ANIMEM LA SIMETRIA. Si pensem una simetria com si la figura fos un full de paper i el que fem és girar-lo com si l'eix fos on s'uneixen totes les pàgines podríem entendre que la figura ens quedi girada.

Com que els dos punts equidisten de l'eix el que podem fer perquè sembli que es gira el full és fer que els vèrtexs de la figura es desplacin entre el punt inicial i el punt final, com si fos una translació com hem treballat abans. Podríem fer això: Eliminarem el polígon creat, però no els punts i definirem un punt que vagi entre el punt inicial i el seu simètric, per exemple si ho fem amb el punt M'_{2}, escriurem això: Translació(M, Vector(M, M'_{1})) Per tant, estem definint el vector entre els punts que hem dit Vector(punt inici, punt final) Ara per animar la construcció només ens cal afegir la variable mov multiplicant el vector. Translació(M, mov Vector(M, M'_{1})) I aquest procediment l'hem de fer amb tots els vèrtexs del polígon 4. Un cop fet el què farem serà crear un polígon utilitzant els punts que es desplacen.

UTILITZATN EL FULL DE CÀLCUL. Quan hem de fer per escrit elements molt repetitius el que podem fer és usar el full de càlcul, ja veureu que us farà la vida més fàcil. Per fer-ho farem un nou quadrilàter a partir de quatre punts.

Un cop creats els quatre punts els introduirem al full de càlcul, modificant-li els noms mitjançant el botó dret a sobre el punt "canvia el nom" i li posarem el nom d'una casella, s'anomenen amb una lletra majúscula (columna) i un número (fila), usarem per exemple les caselles A2, B2, C2 i D2 per posar els vèrtexs. Ara ens situarem a la casella E2 i hi escriurem =Polígon(A2, C2, D2, B2) i veurem que automàticament les caselles dels costats s'omplen de text. Què són aquestes caselles?, doncs són els segments i superfície que conformen el polígon, sempre se'ns ompliran les caselles formant una fila. Ara farem el simètric del punt A2 respecte l'eix de simetria a, i ho farem a la casella de sota A3. A3 = Simetria(A2, a) I tot seguit a la casella A4 animarem un punt que vagi entre els punts A2 i A3, com hem fet abans. A4 =Translació(A2, Vector(mov Vector(A2, A3))) I ja tenim el punt mòbil i ara és quan veureu el potencial del full de càlcul, seleccioneu les dues caselles A2 i A3, i si utilitzeu el punt que us surt a baix a la dreta i el desplaceu per sota dels quatre punts de les caselles A2-D2 veureu que automàticament ens crea tots els punts.

Per crear el polígon només cal seleccionar la casella E2 i arrossegar-la cap avall, dues posicions.

Ja tenim els polígons creats i ara només cal seleccionar la fila 3 i ocultar tots els elements, clicant sobre el número 3 davant de la fila i usant el botó dret. I ja hem vist les diferents maneres de fer les simetries.

GIR o ROTACIÓ En aquesta transformació, el gir

veurem l'ús d'imatges, de la transparència i de les seqüències per fer els diferents girs.

GRÀFICAMENT. Per fer un gir necessitem un centre de gir o punt de rotació, un cop el tenim seleccionem l'ordre rotació al voltant d'un punt , clicarem sobre l'objecte, el centre de gir (c_1) i ens sortirà una casella emergent on haurem d'escriure l'angle de gir (90º) i indicar el seu sentit, horari o antihorari.
ESCRIVINT A LA BARRA D'ENTRADA. Mirem l'escriptura del gir que acabem de fer:

 Rotació(pol6, 90°, C_1) Fixeu-vos que l'ordre d'escriptura està canviat, l'angle esta entremig. I l'angle és positiu si és en sentit antihorari i negatiu en sentit horari.

ANIMEM EL GIR. El gir és molt fàcil animar-lo, ja que només cal crear una barra lliscant definida com a angle i situar-lo allà on hem posat 90º.

Rotació(pol6, α, C_1) Si movem la barra lliscant automàticament, el quadrat ja queda animat.

ANIMEM la ROTACIÓ i la TRANSPARÈNCIA. Ara el què farem és girar el quadrat utilitzant un vèrtex i crear 4 quadrats sense deixar espais entre ells, un gir d'ordre 4, girant cada quadrat 90º. Com que hem de fer més girs, el què farem serà usar una nova barra lliscant gir que definirem de 0 a 4 amb intervals de 0.01. I escriurem:

 Rotació(pol6, gir (-90°), Z) Fixeu-vos que multiplicarem la variable gir per un angle, -90º, serà en sentit horari i entre parèntesis. Si feu anar la barra lliscant de gir, veureu que només tenim un quadrat que gira. Ara variarem la transparència, farem que quan comenci a girar sigui transparent i es vagi enfosquint a mesura que gira fins a arribar a 90º, o a 1, on tindrem el primer quadrat i després voldrem que torni a repetir de transparent a màxim color quan arribi a 2, etc... Per fer-ho, seleccionem el quadrat que gira i a les propietats anirem a la pestanya Avançat, allà anirem a la casella que posa opacitat i hi escriurem això:

(gir - floor(gir)) * 0.4 Fixeu-vos que automàticament se'ns han omplert els valors que defineixen el color (vermell, verd i blau), en funció del color que era el quadrat, ja no el podrem modificar pels mètodes convencionals. L'OPACITAT és un valor que va de 0 (transparent) a 1 (opac), per tant, ha d'anar de 0 a 1. L'expressió floor(gir) escapça el valor de la variable gir i ens dona només l'enter, en conseqüència, quan gir val més de 1, si fem gir - floor(gir) estem agafant només els decimals de gir (menors a 1). El número 0.4 del final defineix la transparència final que voldrem aconseguir quan arribi a 1. Ara hem de fer un altre gir que deixi fixa un quadrat en cada posició de 90º, a cada valor enter de gir, per fer-ho farem una seqüència. Què és una seqüència, és una repetició d'una ordre repetitiva la qual es modifica a partir d'una variable, és aquest cas, el primer gir serà de 90º, el segon de 2x90º, 3x90º, etc.. per tant, és fàcil d'utilitzar. L'ordre es defineix així: Seqüència( , , , , ). Expressió serà l'ordre de rotació, on el número que multiplica el gir serà la variable (i) Variable, serà la lletra que usarem dins l'expressió, en aquest cas i. Valor inicial, si volem que faci el primer quadrat sense girar hauria de començar a zero, sinó en 1. Valor final, el nombre total de girs que volem, coincidiria amb l'ordre de gir-1. Increment, com vols que variï aquesta variable, si és d'1 en 1, no caldrà posar res. Haurem d'escriure: Seqüència(Rotació(pol6, i (-90°), Z), i, 1, gir) L'expressió és igual que l'anterior, però posant la variable i en el lloc del gir i a darrera definim entre comes la variable que comença a 1 i acaba amb el valor de gir, d'aquesta manera els quadrats aniran apareixent a mesura que la variable gir va augmentant... i l'altre quadrat va girant.

En aquesta imatge es pot veure el resultat, si us hi fixeu també ho podem fer amb la imatge que tenim al costat i funciona de la mateixa manera...

ANIMACIÓ i ROTACIÓ d'una IMATGE utilitzant la TRANSPARÈNCIA. Per fer-ho usarem aquestes expressions, que són idèntiques de les del quadrat, però amb les dades de la imatge (r1) i el vèrtex que la defineix D_1.

RAJOLA que va GIRANT. La definirem d'aquesta manera: Rotació(r1, gir (-90°), D_1) La seva opacitat la definirem així, fixeu-vos que al final no multipliquem per 0.4, ja que volem que la imatge sigui completament opaca. gir - floor(gir) Per definir la imatge que apareix quan el gir val 1, 2 o 3, escriurem la seqüència següent: Seqüència(Rotació(r1, i (-90°), D_1), i, 1, gir) I si mireu el resultat queda bastant més interessant que amb el quadrat... Si hi ha problemes de visibilitat entre les rajoles, podeu modificar el valor de la capa de cada rajola, la que tingui el valor més gran és la que estarà a sobre, com si fossin pisos.

4.2.

4.3.

4.4.

5.

Generació de mosaics periòdics

1. P4 a la Casa Castellarnau de Tarragona
2. P31M a la Casa Castellarnau de Tarragona
3. Generació P6. Variació del P31M de la imatge
4. Generació d'un mosaic PMG. Rambla de Tarragona
5. P4G. Generació del mosaic Os. Alhambra
6. Mosaic P3. Gaudí
7. Generació de mosaic PMG. Casa Castellarnau
8. Mosaic P31M~CM~P1

5.1.

P4 a la Casa Castellarnau de Tarragona

Generació de la cel·la reticular d'un mosaic P4 de la Casa Castellarnau de Tarragona. https://goo.gl/G1djCm

Activeu el generador
Activeu la casella de control tessel·les i adapteu-les al mosaic
Descriviu els moviments que deixen invariant el mosaic

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

6.

Traçat i construcció del mosaic en moviment

1. Creu: el paviment del fuster.
2. Mosaic - "Ratpenats" - Alhambra de Granada
3. Rajola "Les estrelles tartèsiques"

6.1.

Creu: el paviment del fuster.

Aquestes construccions són obres de Jean-Baptiste Etienne, és un recull de diferents construccions sobre la mateixa gelosia (mosaic). En aquest cas podreu veure diferents maneres d'animar una gelosia de fusta feta per la mateixa persona. En aquesta gelosia apareix una estrella tartèsica, estrella de 8 puntes formada per la rotació de 45º entre dos quadrats.

1.- Croisillon style Andalou Aquesta primera construcció la realitza a partir d'una peça opaca inicial i tot seguit:

En fa una translació cap als dos costats.
Es fa un gir de 90º a totes les peces des d'un punt central.
Es fa una translació de tot el conjunt en una direcció perpendicular a l'anterior.

Enllaç a la construcció: "Croisillon style Andalou"

2.- Tirant d'estil andalús Es construeix de la mateixa manera que l'anterior però introdueix la transparència en l'ús de la mateixa peça, però construïda amb un gir inicial de 45º:

Es fa una translació cap als dos costats, utilitzant la transparència.
Es fa un gir de 90º a totes les peces des d'un punt central, utilitzant la transparència.
Es fa una translació de tot el conjunt en una direcció perpendicular a l'anterior, utilitzant la transparència.

Enllaç a la construcció: "Croisillon : le pavage du menuisier".

Construction du polygone :

3.- Creu: textura de fusta En aquesta tercera entrega la construcció és la mateixa que la 2a però li afegeix una textura (imatge) de fusta a la peça inicial, de tal manera que la dota de més realisme:

Es fa una translació cap als dos costats, utilitzant la transparència i la textura.
Es fa un gir de 90º a totes les peces des d'un punt central, utilitzant la transparència i la textura.
Es fa una translació de tot el conjunt en una direcció perpendicular a l'anterior, utilitzant la transparència i la textura.

Enllaç a la construcció: "Croisillon : texture bois".

6.2.

6.3.

7.

MOSAICS - Recursos

1. WEBS i LLIBRES de GeoGebra totalment recomanables
2. Manel Martínez Vela i l'Alhambra de Granada
3. Reds modulars
4. Mosaics lliures a partir de mig quadrat
5. Construcció dinàmica de mosaics nazaris - Sessió 5 - Grup de Treball "Dibuix Tècnic amb GeoGebra"
6. Construcció de MOSAICS amb diferents APPLETS
7. Mosaics fets amb diferents Rajoles
8. CONCLUSIONS
9. MOSAICS d'Alejandro Gallardo

7.1.

WEBS i LLIBRES de GeoGebra totalment recomanables

Tot seguit vull fer esmen a diferents publicacions que treballen amb profunditat les tessel·lacions periòdiques, l'ordre amb que he posat el material és totalment arbitrari. Si m'he deixat alguna web que considereu important on es pot trobar material a compartir, us demanaria que m'ho feu saber i l'afegiria gustosament en aquest recull.

WEBs -Toni Sellares Us deixo dues pàgines webs de Toni Sellarès (llicenciat en matemàtiques) on hi ha un treball magníficament explicat de les tessel·lacions d'Escher i els mons impossibles. Els Mons Impossibles de M.C. Escher

Les Tessel·lacions de M.C. Escher

En aquesta pàgina podreu trobar diferents estudis descarregables en .pdf molt ben explicats de la formació dels mosaics i concretament els de M.C. Escher. - Introducció a les Tessel·lacions - Les Tessel·lacions d'Escher i les Isometries - Tessel·lacions Periòdiques i Isoèdriques - Tessel·lacions Isoèdriques: proto-tessel·les de tipus IH - Les Tessel·lacions de M.C. Escher Podeu trobar la majoria de les tessel·lacions que va dibuixar M.C.Escher a: - https://mcescher.com/gallery/symmetry/ - https://mathstat.slu.edu/escher/index.php/Regular_Division_of_the_Plane_Drawings

WEB - Robert Estalella En aquesta pàgina web de Robert Estalella, Físic de la UB. MOSAICS

A la seva web "MOSAICS" hi podreu trobar un gran recull de mosaics de tot el planeta en el pla i també sobre esferes.

Tot seguit vull fer esmen a diferents publicacions que treballen amb profunditat les tessel·lacions periòdiques, l'ordre amb que he posat el material és totalment arbitrari. WEB - Mosaicos y celosías geométricos Pàgina web de A. Corral on es pot trobar un treball molt complet sobre els mosaics, grups de simetria, mosaics periòdics, aperiòdics, amb 3D tot combinant explicacions, documents de GeoGebra i moltes animacions.

RECULL DE LLIBRES DE GEOGEBRA Si voleu trobar altres construccions només cal que utilitzeu el cercador de materials dins del GeoGebra.org utilitzant diferents paraules clau i seleccionar llibres per trobar més contingut. Us deixo alguns enllaços:

Tot seguit us enllaço diferents llibres de GeoGebra d'on he tret algunes construccions que heu trobat o trobareu en aquest llibre. Segur que m'he deixat molt bons treballs i només he utilitzat creadors catalans o espanyols. Teselaciones de M. C. Escher Llibre on trobareu les construccions que va fer Manuel Sada dels les famoses tessel·lacions de M.C. Escher on s'analitzen de forma dinàmica els moviments en el pla.

Moviments, simetria, mosaics i rosasses Llibre de on he tret moltes de les construccions d'aquest llibre, ja que considero que les animacions que hi ha fet el matemàtic Ramon Nolla són molt explicatives o mostren molt bé a l'alumnat la generació de diferents tipus de tessel·lacions. Cal destacar l'estudi que han fet dels mosaics que es troben La Casa Castellarnau. Lectures des de les matemàtiques conjuntament ambRamon Masip.

Isometrías Aquest llibre d'Isometrías de Rafael Losada Liste és un magnífic treball que forma part del "Proyecto Gauss" on es fa un recull de tot el currículum matemàtic d'ESO i Batxillerat. Cada una de les pàgines que mostra aquest llibre hi ha tot d'activitats per a fer pensar a l'alumne i on si poden trobar tot un seguit de preguntes que podrien ser ideals per a crear lliçons per a utilitzar a l'aula de GeoGebra amb els alumnes.

MMACA - Museu de les matemàtiques En aquesta entrada del museu de les matemàtiques podeu troba informació i enllaços a diferents materials per treballar els mosaics a l'aula.

ARXIU de Ramon tejedor A les XIV jornades de GeoGebra en Ramon Tejedor ens va fer una ponència anomenada "Les matemàtiques de les rajoles" on ens va compartir el seu banc de rajoles hidràuliques de Balaguer i molts més llocs. Us deixo els següents enllaços:

Base de dades Balaguer
La ponència d'aquell any es va fer per videoconferència, us deixo l'enllaç: Conferència Ramon Tejedor

Explicació de la ponència: "Des d'una mirada matemàtica, es presentarà el mosaic hidràulic com a recurs per treballar la geometria en el pla dins i fora l'aula. Paral·lelament es mostrarà un banc de referències format per més de 200 arxius Geogebra que corresponen a més de 1.000 indrets de tota Catalunya on hi ha present el mosaic hidràulic. El que es pretén es dotar d'un sentiment de preservació del patrimoni que està present en tot el territori i que, poc a poc, va desapareixent per una falta de sensibilització general."

LLIBRE D'ALEJANDRO GALLARDO Us comparteixo un parell de llibres de l'Alejandro Gallardo ueon podeu veure la manera de treballar els mosaics.Taller Fotogebra 2021: Teselaciones, lo que debes saber Aquest és el llibre que va utilitzar per fer una xerrada el taller Fotogebra del 2021, si entreu en aquest llibre hi trobareu el vídeo de la xerrada; Vídeo de la charla.

Azulejos dinámicos: muy pronto en nuestras cocinas Libro con las construcciones para la ponencia en el VIII Día de Geogebra Iberoamericano.

0