[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/edby4fdr]Variable compleja[/url].[/color][br][br]El teorema fundamental del álgebra, además de importante, es uno de los más bellos, por su simpleza. Dice que [color=#cc0000]todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. [color=#000000]De este resultado se puede deducir fácilmente que [color=#cc0000]todo polinomio[/color] [/color]de grado [i]n[/i] tiene exactamente [i]n[/i] raíces[/color]. [br][br]Ahora bien, el teorema se refiere a funciones polinómicas en los que el cuerpo numérico no es [math]\mathbb{R}[/math] sino [math]\mathbb{C}[/math], es decir, polinomios con coeficientes y raíces complejas. Esto es un inconveniente a la hora de representar esas [i]n[/i] raíces, ya que necesitaríamos un espacio de cuatro dimensiones. Pero podemos usar un truco: restringir la función compleja, quedándonos solo con el dominio cuyas imágenes sean reales. Así, en vez de una función [math]f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}[/math], tendremos una función[math]f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], cuya gráfica ya se puede representar en 3D, usando el eje Z como eje imaginario ([math]f:XZ\longrightarrow Y[/math]).[br][br]Por ejemplo, sea [color=#cc0000]y = f(x) = x[sup]2[/sup] - 2x + 2[/color]. En variable compleja se convierte en: [color=#cc0000]y = f(x + z [i]i[/i]) = (x + z [i]i[/i])[sup]2[/sup] -2(x + z [i]i[/i]) + 2[/color], cuya parte imaginaria es 2z(x -1). [color=#0000ff]Si igualamos esta parte a cero[/color], nos aseguramos que la imagen de f sea real. En este ejemplo, eso solo pasa cuando z vale 0 o cuando x vale 1. [br][br]En el primer caso, z=0, obtenemos la función de variable real cuya gráfica ya conocemos (en color azul sobre el plano gris XY). En el segundo, x=1, basta sustituir este valor en la expresión de f para obtener la curva [color=#cc0000](1, 1-z[sup]2[/sup], z)[/color], con [math]z\in\mathbb{R}[/math] (en color rojo).[br][br]Las raíces complejas (puntos amarillos en la Vista 3D) son las intersecciones de esas dos curvas con el plano azul XZ (los puntos con [color=#cc0000]y = f(x + z [i]i[/i]) = 0[/color]). Lo que hace el comando [color=#0000ff][i]RaízC[/i] [/color]de GeoGebra es trasladar esos puntos desde el plano complejo XZ al plano real XY (puntos amarillos en la Vista 2D).[br][br]También podemos seguir el mismo procedimiento para crear la superficie que representa a los números complejos [color=#cc0000]x + z [i]i[/i][/color] tales que su parte imaginaria esté en un intervalo real (en la construcción, ese intervalo va de -5 a 5, es decir, [color=#cc0000]y = f(x + z [i]i[/i]) = a + b [/color][color=#cc0000][i]i[/i][/color] , [math]b\in\left[-5,5\right][/math]).[br][br][color=#999999]Nota: Observa que, en general, la curva roja no es una curva plana, al contrario de lo que ocurre con la curva azul. El método que hemos seguido para visualizar las raíces complejas se pueda aplicar también a otras funciones (polinómicas o no), mientras sea posible calcular la expresión que anula la parte imaginaria de la imagen de la función (es decir, el método queda supeditado al cálculo de raíces reales). A veces, esta expresión tiene doble signo debido a la aparición de raíces cuadradas.[/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/edby4fdr]Variable compleja[/url].[/color][br][br]La fórmula de Euler es una fórmula que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. Dice que, para cualquier número real x, se verifica: [br][center][math]e^{i\,x}=cos\;x\;+\;i\;sen\;x[/math][/center]El físico Richard Feynman se refirió a esta igualdad como [i]la más notable fórmula matemática[/i].[br][br][Nota: Una demostración sencilla se obtiene viendo que la derivada de la función [math]g\left(x\right)=e^{-i\,x}\left(cos\,x\,+\,i\,sen\,x\right)[/math] es siempre 0, para cualquier valor de x. Por tanto, g es una función constante. Como g(0)=1, g(x) tiene que valer siempre 1.][br][br]Podemos representar esta igualdad funcional en 3D. Como [color=#cc0000]x[/color] no es un número complejo, sino un número real (un ángulo en radianes), podemos considerar la función[math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}[/math] (en la construcción, [math]f:X\longrightarrow YZ[/math]) donde [math]f\left(x\right)=e^{i\,x}[/math]. La ecuación dice que esta imagen tiene por parte real el coseno y por parte imaginaria el seno de ese ángulo [color=#cc0000]x[/color].[br][br]En la vista 3D de la construcción, la parte real ([color=#6aa84f]coseno[/color]) es la gráfica verde (el plano [color=#cc0000]X[/color][color=#6aa84f]Y[/color] es real), mientras que la parte imaginaria ([color=#0000ff]seno[/color]) es la gráfica azul. [Nota: estas dos gráficas, verde y azul, también pueden representar los campos eléctrico y magnético de la propagación de una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Radiaci%C3%B3n_electromagn%C3%A9tica]onda electromagnética[/url], como la luz.][br][br]El punto amarillo recorre la gráfica de esa función. El segmento naranja, que siempre mide la unidad, indica su módulo. En la parte derecha puedes ver la proyección de ese punto en el plano complejo [color=#6aa84f]Y[/color][color=#0000ff]Z[/color]. El ángulo rojo representa a [color=#cc0000]x[/color] (módulo 2[math]\pi[/math], pues los valores de la función son periódicos). El segmento verde muestra la parte real ([color=#6aa84f]coseno[/color]) y el segmento azul la parte imaginaria ([color=#0000ff]seno[/color]). El color del rastro del punto proyectado es proporcional al valor del coseno y el seno. [br][br]Como consecuencia de la fórmula de Euler, se obtiene (cuando [color=#0000ff][color=#cc0000]x[/color][/color] vale [math]\pi[/math]) una de las más bellas y famosas igualdades matemáticas, [i]la identidad de Euler[/i]:[center][math]e^{i\pi}+1=0[/math][/center]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/edby4fdr]Variable compleja[/url].[/color][br][br]La representación de funciones reales de variable real, [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math] , [color=#cc0000]y = f(x)[/color], asigna un eje cartesiano a las valores de [color=#cc0000]x[/color] y otro eje a los valores de [color=#cc0000]y[/color]. Con ello, se consigue que cada par [color=#cc0000](x, f(x))[/color] quede representado por un punto en el plano. Todos los puntos (x, f(x)) constituyen una curva unidimensional, la gráfica de la función, que necesita 2 dimensiones para ser representada.[br][br]Ahora bien, la representación de un número complejo [color=#cc0000]z = x + i y[/color] se realiza mediante el punto [color=#cc0000](x, y)[/color] del plano [math]\mathbb{R}^2[/math], así que la representación de funciones complejas de variable compleja, [math]f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}[/math] , necesita un plano para asignar los valores (x, y) correspondientes a z y otro plano para asignar los valores correspondientes a f(z). Podemos interpretar pues la función f como una función [math]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math]. La gráfica de esta función necesita 4 dimensiones para ser representada. ¿Como superar este inconveniente? [br][br]Uno de los modos de representar las funciones complejas es proyectando el espacio cuatridimensional en nuestro espacio tridimensional. Evidentemente, esto supone una inevitable pérdida de información, pero esto no impide que las proyecciones ayuden a analizar la función compleja original.[br][br]Veamos primero un ejemplo con una función [math]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}[/math]. Esta función se puede representar en nuestro espacio tridimensional, por lo que podremos ver no solo sus proyecciones en los planos YZ, XZ y XY, sino también la superficie original. En las siguientes actividades, nos tendremos que conformar con ver solo las proyecciones, pues la función compleja original vive en un espacio de dimensión superior.[br][br]Tenemos tres variables: [color=#cc0000]x[/color], [color=#cc0000]y[/color], [color=#cc0000]z[/color], donde z=f(x,y). Proyectar un punto tridimensional [color=#cc0000](x, y, z)[/color] en el plano bidimensional significa anular una de las variables. Por tanto, hay tres proyecciones posibles, que son las que muestra la construcción.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/edby4fdr]Variable compleja[/url].[br][br][color=#000000][b]Introducción a la coloración punto por punto de una superficie[/b][br][br][color=#999999][color=#000000]La coloración sigue el método que combina el rastro y el color dinámico, tal como expliqué en el foro de GeoGebra en [url=https://help.geogebra.org/topic/magic-color-ghost-constructions]2009[/url] y [url=https://help.geogebra.org/topic/how-create-fast-color-maps-of-a-locus-without-construct-it]2011[/url]. Para detalles acerca de este método, se puede consultar [url=https://www.geogebra.org/m/d6j2nhYG]este libro GeoGebra[/url] y [url=https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwj8g5Xw-e7vAhV55OAKHcH9BGIQFjAAegQIBRAD&url=http%3A%2F%2Fwww.geogebra.es%2Fcolor_dinamico%2FColor%2520dinamico%2520-%2520GacRSocMatEsp.pdf&usg=AOvVaw0eiPFHUcDOiBZXEs6oD_B3]este artículo[/url], así como [url=http://www.sinewton.org/numeros/numeros/101/Geogebra_01.pdf]este otro artículo[/url] de Juan Carlos Ponce. Como novedad, ahora no se colorea sobre un rectángulo plano, sino sobre la superficie mencionada, por lo que basta el canal H (matiz) para representar el argumento principal (fase) y se puede prescindir del canal L (luminosidad) para representar el módulo.[br][/color][/color][br][color=#999999][color=#000000][color=#999999][color=#000000]También se puede usar el código de color RGB, como en la siguiente imagen, que recoge la v[color=#999999][color=#000000][color=#999999][color=#000000][color=#999999][color=#000000]ista en el plano complejo XY de la representación tridimensional de la función compleja f(z) = z[sup]5[/sup] + 1, usando este código para la parte imaginaria de f(z), tal como se muestra en la siguiente actividad. La frontera amarillo/rojo indica un cambio del signo de esta parte imaginaria.[/color][/color][/color][/color][/color][/color][/color][/color][/color][/color][br][/color][/color]

[color=#999999][color=#000000][color=#999999]Nota: He sugerido en el foro de GeoGebra el interés que supondría integrar un método similar de [url=https://help.geogebra.org/topic/point-to-point-colored-surface]coloración dinámica punto por punto[/url] en el comando Superficie.[/color][br][br]Para favorecer la visualización, es altamente recomendable limitar el ancho de los intervalos de dominio ([x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub]], [y[sub]1[/sub], y[sub]2[/sub]]) de las variables del plano complejo XY a unas 4 unidades, aproximadamente. En caso de intervalos mayores, se puede hacer un alejamiento previo con el zoom (pulsando en la vista 3D y girando la rueda del ratón). He optado, en un compromiso entre velocidad y calidad, por crear un escáner de color dinámico con solo 200 puntos. Creo que son sufientes en la mayoría de las ocasiones. Si se desea mayor calidad, se puede descargar la construcción y reducir el tamaño de cada punto al tiempo que se eleva el número de puntos o se reduce el ancho de los intervalos.[/color][/color]