El Triángulo: construcción y puntos notables
En este libro sobre el triángulo nos detendremos en primer lugar en los métodos para su construcción, las condiciones que se deben cumplir para poder determinarlo, y finalmente, los puntos notables del triángulo: baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro.
Table of Contents
- Introducción
- Triángulos y más triángulos
- ¿Qué es un triángulo?
- Cómo el estudio de los triángulos cambió las matemáticas
- Construcción del triángulo
- Construcción de triangulo- Método ALA
- Construcción del baricentro: medianas
- Baricentro de un triángulo paso a paso.
- Ahora te toca a tí:
- Contrucción del ortocentro: alturas
- Ortocentro de un triángulo paso a paso:
- Ahora te toca a tí:
- Construcción del circuncentro: mediatrices
- Circuncentro de un triángulo paso a paso
- Ahora te toca a tí:
- Construcción del incentro: bisectrices
- Incentro de un triángulo paso a paso.
- Ahora te toca a tí:
Triángulos y más triángulos
Triángulos y más triángulos
Construcción de triangulo- Método ALA
Definición
Para contruír triángulos teniendo un ángulo, un lado y otro ángulo debemos seguir los siguientes pasos:
Contrucción
Pregunta
¿Cuanto miden los ángulos interiores del triangulo?
¿Qué ocurre si las semirrectas roja y azul son paralelas?
Baricentro de un triángulo paso a paso.
Sigue las instrucciones que aparecen en pantalla para construir el baricentro de un triangulo. Observa los comentarios que van saliendo.
Desplaza los vértices del triangulo y observa que las tres rectas siempres se intersecan en un punt.
¿Es posible que en alguna construcción de un triángulo, el BARICENTRO quede fuera del propio triángulo?
Ortocentro de un triángulo paso a paso:
[b]Construir las alturas de un triángulo y el ortocentro.[/b][br][br][br][b]Applet que muestra el proceso de la construcción.[/b] Desplace el dial para observar el proceso.[br][br]Se da el triángulo [b]ABC[/b]. Construir las tres [b]alturas [/b]y el [b]ortocentro[/b].[br][br]
[b]Altura de un triángulo:[/b] Es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. [br][br][b]Ortocentro:[/b] Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Circuncentro de un triángulo paso a paso
Circuncentro
El CRICUNCENTRO de un triángulo es el punto de corte de las tres mediatrices del triángulo.
Construcción del CIRCUNCENTRO
[list][*]Activa la herramienta POLÍGONO e indica tres lugares distintos para forma un triángulo. Para "cerrarlo", debes clicar de nuevo en el primer punto. Evidentemente, los puntos NO PUEDEN estar alineados.[/*][*]Activa la herramienta MEDIATRIZ y ve clicando sucesivamente sobre DOS los lados del triángulo. [/*][*]Selecciona la herramienta PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS OBJETOS para indicar el punto de corte de las dos mediatrices.[/*][*]¿Crees que la tercera MEDIATRIZ también pasará por el CIRCUNCENTRO? Compruébalo tu mismo.[/*][/list]
Construcción del círculo CIRCUNSCRITO
[list][*]Activa ahora la herramienta MOSTRAR/ESCONDER OBJETOS y oculta las mediatrices.[/*][*]Activa la herramienta CÍRCULO DEFINIDO POR EL CENTRO Y UN PUNTO y dibuja la circunferencia con centro CIRCUNCENTRO y que pase por uno de los vértices.[/*][*]¿Qué característica observas de esa circunferencia?[/*][/list]
Reflexión 1:
¿Por qué la circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo?
Reflexión 2:
¿Cuándo el circuncentro estará DENTRO del triángulo?
Reflexión 3:
¿Cuándo el circuncentro sobre un lado del triángulo?
Reflexión 4:
¿Cuándo el circuncentro estará FUERA del triángulo?
Incentro de un triángulo paso a paso.
Incentro:
En el siguiente applet se ha dibujado un triángulo ABC.[br]Sigue los pasos que se indican para completar la construcción y poder responder a las preguntas planteadas.
Construcción:
Instrucciones:
1. Se ha dibujado, utilizando la herramienta "Bisectriz", la bisectriz del ángulo CBA. Utilizando esta herramienta GeoGebra dibuja rectas en lugar de la semirrecta, por lo que a partir de la recta hemos dibujado la semirrecta, r, que es en realidad la bisectriz y hemos ocultado el trozo de recta que no forma parte de la misma.[br]Realiza la misma construcción para los otros dos ángulos del triángulo. Estas tres bisectrices reciben el nombre de [b]bisectrices del triángulo[/b] y son rectas notables en un triángulo. [br]2. Mueve los vértices del triángulo y observa qué sucede con las tres bisectrices del triángulo. Verás que las tres semirrectas se cortan en un punto. Dicho punto es el [b]incentro[/b], y es uno de los puntos notables del triángulo. [br]3. El incentro es el centro de la [b]circunferencia inscrita al triángulo[/b], es decir, la circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo. Por tanto, para poder dibujar la circunferencia inscrita con precisión, es necesario determinar, al menos, el [b]punto de tangencia[/b] en uno de los tres lados del triángulo. [br]Los puntos de tangencia son las intersecciones de los lados con las rectas perpendiculares a los mismos que pasan por el incentro. Escribe por qué son esos los puntos de tangencia y no otros. [br]4. Realiza la construcción del punto de tangencia en uno de los lados del triángulo y dibuja la circunferencia inscrita al triángulo. Mueve los vértices del triángulo. ¿Qué sucede? [br]5. En la situación anterior, se dice que el [b]triángulo es INSCRITO a la circunferencia[/b].