[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: AplicaMatriz[/color][br][br]Hemos visto que las coordenadas homogéneas de un punto P' con las misma coordenadas que P, pero referenciadas a un sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]} vienen dadas por:[center][size=150]P' = T P[/size][/center]donde T es la matriz ampliada:[center]T=[math]\left(\begin{matrix}a_x\;b_x\;o_x\\a_y\;b_y\;o_y\\0\;\;0\;\;1\end{matrix}\right)[/math][/center]Si llamamos T' a la matriz inversa de T (sabemos que existe porque su determinante es el mismo que el de M, que era invertible), podemos expresar las coordenadas de P en función de las coordenadas de P':[center][color=#cc0000][size=150]P = T' P'[/size][/color][/center]Gracias a la correspondencia entre transformaciones y matrices, resulta fácil ver que las transformaciones afines invertibles del plano constituyen un grupo, denominado [b]grupo afín[/b], es decir:[br][list][*]Al componer dos transformaciones se obtiene una nueva transformación. La composición de dos transformaciones T[sub]1[/sub] y T[sub]2[/sub], es decir, su aplicación ordenada y sucesiva, da como resultado la transformación cuya matriz es el producto de ambas, T = T[sub]2[/sub] T[sub]1[/sub]:[/*][/list][center]P' = T[sub]1[/sub] P, P'' = T[sub]2[/sub] P' [math]\Rightarrow[/math] P'' = T[sub]2[/sub] T[sub]1[/sub] P[/center][list][*]Existe una transformación (la identidad) que al componerla con otra no la altera. La transformación identidad corresponde a la matriz identidad de orden 3.[/*][*]Toda transformación tiene una transformación inversa (aquella que al componerla con la primera da la identidad). La transformación inversa de T corresponde a la matriz T', la matriz inversa de T.[/*][/list]Esto quiere decir que da igual cuántas transformaciones afines invertibles sucesivas apliquemos y de que tipo sean: el resultado final será equivalente a aplicar una sola transformación afín[u],[/u] que además es reversible (invertible). Por lo tanto, también quiere decir que [color=#cc0000]da igual cuántos cambios de sistema de referencia realicemos consecutivamente, el resultado final será equivalente a aplicar un solo cambio[/color].[br][br]El grupo afín no es conmutativo, pues el orden de la composición (el producto de matrices) es, en general, importante. Esto significa que, al componer dos transformaciones T[sub]1[/sub] y T[sub]2[/sub] cualesquiera, el resultado puede ser diferente dependiendo del orden en que las apliquemos. Solo cuando las correspondientes matrices T[sub]1[/sub] y T[sub]2[/sub] sean conmutables obtendremos el mismo resultado.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]