Mercator
[color=#AAA]Nota de Rafael Losada: Este libro es una traducción al español de la traducción al portugués de Carmen Mathias https://www.geogebra.org/m/t2vhjamz del original escrito en neerlandés e inglés por Chris Cambré https://www.geogebra.org/m/yjxp7xm3. Decidí realizar esta traducción, no solo porque, como adelanta Carmen, hay pocos materiales sobre la geometría de las proyecciones cartográficas, sino también como excelente ejemplo del aprovechamiento colectivo de los materiales, bajo el espíritu de colaboración presente en GeoGebra desde sus inicios.[/color] Cuando Ralph de Meester, estudiante de la Academia Marítima de Amberes, contactó conmigo para hacerme preguntas de GeoGebra sobre la proyección de Mercator, dos mundos se encontraron. Ralph me explicó todo sobre ortodromias y loxodromias y yo le expliqué los secretos de GeoGebra sobre secuencias y curvas. Juntos, logramos representar rutas en un globo y en un mapa del mundo en un subprograma interactivo. Con suerte, este libro también puede ayudar a otros a descubrir que Mercator no era un dibujante pésimo que trazó un mapa terriblemente deformado, sino un genial cartógrafo que ofreció a los navegantes el mapa útil que estaban pidiendo. ¿Cómo podemos representar un globo terráqueo en un mapa? ¿Cómo podemos hacer mapas útiles para la navegación? ¿Cuál es la ruta más corta entre dos puntos del mundo? En este libro puedes explorar la solución del siglo XVI de Gerard Mercator, que fue revolucionaria para la navegación y matemáticamente muy adelantada a su tiempo. Al mismo tiempo, aprenderás por qué los continentes se ven tan deformados y por qué los barcos y los aviones siguen trayectorias curvas sobre un mapa del mundo. Los applets 3D de este libro están basados en el trabajo de Rafael Losada Liste https://www.geogebra.org/m/BEUGAvQj, quien tuvo la fantástica idea[color=#AAA] [muchas gracias, Chris :-)] [/color]y la paciencia de dibujar continentes en una esfera con una línea poligonal. Como extras, podrás ver el recorrido "recto" más largo navegable en la Tierra y el más largo por tierra firme. Son recorridos que en el mapa no se ven como líneas rectas, pero que en la realidad de la Tierra se encuentran en círculos máximos. En https://www.geogebra.org/m/xp33qgxu puedes encontrar un libro GeoGebra más general sobre proyecciones en mapas.
Table of Contents
- Rutas
- Definiendo una posición
- El camino más corto
- ¿Cómo es la ruta más corta?
- Diseñando un mapamundi
- Rutas: loxodromia y ortodromia
- Paralelos y meridianos
- Proyección de Mercator
- Proyección de Mercator
- Paralelo 40° N
- Rutas en el mapa de Mercator
- Las rutas más largas
- La ruta navegable más larga del planeta
- La ruta caminable más larga del planeta
Definiendo una posición
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/xp33qgxu]Proyecciones cartográficas[/url].[/color][br][br]Determinamos la posición de un punto en el globo a través de su latitud y longitud.[br][br][b]Latitud[/b][br][list][*]El ecuador divide el globo en los hemisferios norte y sur.[/*][*]Un punto en el ecuador tiene una latitud de 0°.[/*][*]Un punto en el hemisferio norte tiene una latitud entre 0° y 90° N (latitud norte).[/*][*]Un punto en el hemisferio sur tiene una latitud entre 0° y 90° S (latitud sur).[/*][*]Si convenimos que la latitud en el hemisferio norte es positiva y la del sur negativa, también podemos trabajar con latitudes entre -90° y 90°.[/*][*]Los paralelos conectan puntos con la misma latitud.[/*][/list][br][b]Longitud[/b][br][list][*]Alrededor de su circunferencia, la Tierra se divide en 360°.[/*][*]Meridianos, líneas imaginarias de polo a polo y perpendiculares al ecuador, conectan puntos con la misma posición longitudinal (longitud).[/*][*]El meridiano de Greenwich (cerca de Londres) es el meridiano acordado internacionalmente que conecta puntos con longitud 0°.[/*][*]La longitud de los puntos al este de este meridiano se conoce como longitud este (OL).[/*][*]La longitud de los puntos al oeste de este meridiano se conoce como longitud oeste (WL).[/*][*]Si tomamos la longitud este como positiva, también podemos usar ubicaciones longitudinales de -180° a 180°.[br][/*][/list]
Mueve el punto
Proyección de Mercator
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/ezbz88uz]Mercator[/url][/color].
Mapamundi
El reto de Mercator consistía en ajustar los portulanos para que mostraran ángulos reales y las loxodromias se representaran como líneas rectas.[br][br]En 1569, publicó su mapa del mundo [i]Nova et aucta orbis terræ descriptio ad usum navigantium emendate acomodata[/i] (Descripción nueva y actual del mundo para el uso de la navegación en una reforma adecuada). Para este mapa usa su proyección cilíndrica, que lo hará mundialmente famoso.[br][br]Se parte de una proyección cilíndrica en la que el ecuador y las líneas de latitud son líneas horizontales paralelas y los meridianos son líneas verticales.
Una idea brillante
En un globo terrestre, observa que los meridianos se acercan cuando están más cerca de los polos. Al dibujar los meridianos como si fueran paralelos, los estiras horizontalmente. Mercator concluye que solo es posible dibujar un mapa del mundo con ángulos reales si también se estira el eje vertical, aumentando las distancias entre los paralelos más distantes del ecuador. Como resultado, los continentes más cercanos a los polos están representados relativamente más grandes que los continentes más cercanos al ecuador. Sin embargo, para Mercator, esta desventaja visual es menos importante que la creación de un mapa con ángulos reales y su ventaja práctica para la navegación marítima. [br][br]En la siguiente actividad se detallará esto.
Un poco de matemáticas
No está claro cómo Mercator encontró las ampliaciones del eje vertical. Es necesario utilizar integrales para un cálculo exacto, pero no se inventaron hasta el siglo XVII. También es posible un enfoque logarítmico, pero esto también se publicó solo 20 años después de la muerte de Mercator. Se cree que Mercator tomó medidas en el globo terrestre que construyó como modelo en 1541.[br][br]Usando integrales es posible crear una ecuación que relacione un punto con una longitud [math]\lambda[/math] y latitud [math]\varphi[/math] dadas, y las coordenadas (x, y) en un mapamundi con proyección Mercator. Las ecuaciones son:[br][br][math]x=r.\lambda[/math][br][math]y=r.ln\left(tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)\right)[/math]
La ruta navegable más larga del planeta
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/ezbz88uz]Mercator[/url][/color].
¿Cuál es la ruta "recta" más larga que se puede navegar en la Tierra?
En 2012, se publicó una respuesta a esa pregunta en un blog. Los informáticos crearon un algoritmo que confirmó la ruta descrita en el blog. Puedes leer más sobre esto en [url=https://arxiv.org/pdf/1804.07389.pdf]https://arxiv.org/pdf/1804.07389.pdf[/url].[br][br]En el mapa, parece de todo menos una línea recta, pero en el globo se puede ver que la trayectoria está en un círculo máximo. La ruta comienza en Pakistán (25° 17' N, 66° 40' E), atraviesa África y Madagascar, pasa por Tierra del Fuego y termina en la península rusa de Kamchatka (58° 37' N, 162° 14' E). La ruta cubre un ángulo de 288° 35' a lo largo de una longitud de 32090 km.