Cambio de sistema de referencia 2
En este libro se analiza el efecto de un [b]cambio de sistema de referencia en el plano[/b], que resulta equivalente a la aplicación de una [b]transformación afín invertible[/b]. En los cinco primeros capítulos se exponen todas los tipos de transformaciones afines invertibles (isometrías, cortes y escalas), así como el uso del comando de GeoGebra [i]AplicaMatriz[/i]. En los siguientes capítulos, se usa el [color=#c51414][b]CAS[/b][/color] de GeoGebra para obtener las ecuaciones correspondientes a la aplicación de un cambio de sistema de referencia a diversos objetos geométricos, como polígonos, cónicas y funciones polinómicas, buscando, cuando sea posible, el correspondiente [b]objeto canónico[/b] del que derivan todos los demás.
Table of Contents
- Transformaciones afines 2D
- Avisos y abusos
- Sistemas de referencias en el plano
- Matriz inversa
- Transformación afín invertible
- Coordenadas homogéneas
- El comando AplicaMatriz
- Árbol de Pitágoras
- Grupo afín
- Propiedades
- Incidencia y concurrencia
- Paralelismo
- Colinealidad y razón simple
- Proporción de áreas
- Convexidad y baricentros
- Una aplicación sencilla
- Ni proporciones de distancias ni ángulos
- Isometrías 2D
- Isometrías
- Traslación
- Giro o rotación
- Reflexión (simetría axial)
- Simetría central
- Reflexión desplazada
- Grupo de isometrías
- Isometrías afines
- Afines 2D no isométricas
- Corte (deslizamiento sesgado)
- Escalado
- Escalado con punto fijo
- Cálculo simbólico (CAS)
- Polígonos
- Coordenadas literales (P → P')
- Coordenadas literales (P' → P)
- Curvas planas
- Curvas afínmente equivalentes
- Cónicas
- Elipse
- Parábola
- Hipérbola
- Cónicas degeneradas
- Funciones en una variable
- Polinómicas grado 1 (o cero)
- Polinómicas grado 2
- Maravilloso CAS
- Polinómicas grado 3
- Polinómicas grado 4
- Polinómicas grado 4 con CAS
- Cualquier función
- Transformaciones afines 3D
- Sistemas de referencias en el espacio
- Matriz inversa
- Transformación afín invertible
- Coordenadas homogéneas
- Isometrías 3D
- Isometrías
- Traslación
- Giro o rotación
- Reflexión
- Simetría central
- Grupo de isometrías
- Isometrías afines
- Afines 3D no isométricas
- Corte (deslizamiento sesgado)
- Escalado
- Lineales 3D, afines 2D
Avisos y abusos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]A lo largo de este libro, representaremos cada [b]vector como matriz columna[/b] (en vez de matriz fila). Esta notación coincide con la que usa por defecto GeoGebra, tanto para los vectores en sí como para la construcción de la matriz de transformación afín T que usaremos. Una notación alternativa, con vectores fila, es igualmente posible: basta transponer todas las matrices y permutar todos los productos de matrices en este libro. Ahora bien, en este caso no se podría usar directamente el comando [color=#cc0000]AplicaMatriz[/color] de GeoGebra.[br][br]Además, cometeremos un abuso de notación y un abuso de lenguaje. Entendemos justificados (y, por otra parte, habituales) tales abusos en aras de una simplificación de la exposición.[br][br]Sea P un punto del plano, de coordenadas p[sub]x[/sub] y p[sub]y[/sub]. Realizaremos un abuso de la notación cuando denotemos por P tanto al punto del plano [math]\left(p_x,p_y\right)[/math] como a su vector de posición [b]p[/b]=[math]\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\end{matrix}\right)[/math] y como al vector de coordenadas homogéneas[math]\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\1\end{matrix}\right)[/math]. A la vez, estaremos realizando un abuso de lenguaje cuando llamemos "punto" a cualquiera de los dos vectores anteriores (si bien el término "punto" podría interpretarse, en el último caso, como "punto proyectivo").[br][br]Tales abusos, que simplifican notablemente la exposición, no deberían llevar a la confusión si se observa [color=#cc0000]el contexto[/color] en el que se producen.[br][br]Concretando: más adelante, denominaremos M a cierta matriz 2x2 y T a cierta matriz 3x3 (ampliada a partir de M). Así, el producto de matrices M P (dimensiones 2x2 por 2x1) solo tiene sentido si interpretamos P como su vector de posición [b]p[/b], mientras que el producto T P (dimensiones 3x3 por 3x1) solo puede realizarse si interpretamos que en este caso la notación P alude al vector de coordenadas homogéneas correspondiente a [b]p[/b].[br][br]GeoGebra admite directamente el primer abuso: si en la Barra de Entrada escribimos P' = M P, no tiene inconveniente en "entender" que, para poder realizar ese producto, P ha de referirse a una matriz 2x1, es decir, a un vector columna. Tampoco suele tener problemas en admitir el segundo abuso: si escribimos P' = T P [i]puede adivinar[/i] (aunque no siempre) que ahora estamos trabajando con coordenadas homogéneas.[br][br]De hecho, GeoGebra dispone de un comando específico para realizar correctamente estas interpretaciones de los productos M P y T P en cualquier circunstancia. Se trata del comando [color=#cc0000]AplicaMatriz[/color]: AplicaMatriz(M, P) y AplicaMatriz(T, P), que se puede aplicar tanto a puntos como a imágenes.[br][br]Finalmente, para evitar frecuentes perífrasis innecesarias, emplearemos ciertos abusos habituales en los textos divulgativos que no emplean una rigidez formal, como por ejemplo aludir a una función f mediante su imagen y=f(x) o su gráfica.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Incidencia y concurrencia
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Las transformaciones afines conservan la incidencia de puntos y rectas. Es decir, si un punto pertenece a una recta, la imagen del punto también pertenecerá a la imagen de la recta.[br][br]También conservan la concurrencia. Es decir, si dos rectas coinciden en un punto, las imágenes de las dos rectas se cortarán en la imagen de dicho punto.[br][br]Puedes comprobar ambas propiedades en esta construcción.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Isometrías
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. Una exposición específica de las isometrías, desde el punto de vista geométrico, puede verse en el libro [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color][br][br]Las isometrías (iso-metría, "igual medida") son transformaciones afines que conservan las longitudes. Es decir, dados dos puntos P y Q sometidos a la misma isometría, la distancia de P' a Q' es la misma que la de P a Q.[br][br]Por lo tanto, las isometrías mantienen la forma (los ángulos) y el tamaño de las figuras planas sometidas ellas. Lo único que puede variar es la posición o la orientación.[br][br]Esta característica de las isometrías se traduce en una importante propiedad en las matrices de cambio de base. Resulta que:[br][center][color=#cc0000]M=([b]a[/b] | [b]b[/b]) es la matriz de cambio de base de una [b]isometría[/b][math]\Longleftrightarrow[/math]M es una [b]matriz ortogonal[/b].[/color][/center]Esto significa que M', la inversa de M, debe coincidir con M[sup]t[/sup], la traspuesta de M (o, si se prefiere, el producto de M por su traspuesta es la identidad). Si llamamos [b]Δ al determinante de M[/b], resulta entonces que:[br][center][math]\left(\begin{matrix}b_y\\-a_y\end{matrix}\;\begin{matrix}-b_x\\a_x\end{matrix}\right)=Δ\left(\begin{matrix}a_x\\b_x\end{matrix}\;\begin{matrix}a_y\\b_y\end{matrix}\right)[/math][/center]Que es equivalente a decir que:[center]Δ[sup]2[/sup]=1 a[sub]x[/sub][sup]2[/sup]+b[sub]x[/sub][sup]2[/sup]=1 a[sub]y[/sub]=-Δ b[sub]x[/sub] b[sub]y[/sub]=Δ a[sub]x[/sub][/center]Estas igualdades, juntas, condicionan fuertemente cómo ha de ser la matriz M. A partir de la segunda condición (a[sub]x[/sub][sup]2[/sup]+b[sub]x[/sub][sup]2[/sup]=1), se nos ocurre realizar el cambio de variable a[sub]x[/sub]=cos(t), b[sub]x[/sub]=sen(t), es decir, pasar a coordenadas polares. De este modo, las únicas matrices posibles toman una de estas dos formas:[br][center][math]M_g=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\sen\left(t\right)\end{matrix}\;\begin{matrix}-sen\left(t\right)\\cos\left(t\right)\end{matrix}\right),M_r=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\sen\left(t\right)\end{matrix}\;\begin{matrix}sen\left(t\right)\\-cos\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][/center]Observa que, en ambos casos, los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b] son [color=#cc0000]ortogonales y unitarios[/color] (es decir, [i]ortonormales[/i]; esto es algo que caracteriza a las matrices ortogonales). El primer caso corresponde a [b]Δ=1[/b] y determinará un movimiento que conserva la orientación: el giro. El segundo corresponde a [b]Δ=-1[/b] y determinará un movimiento que invierte la orientación: la reflexión. Ambos tipos de movimientos, reunidos, forman el llamado [color=#cc0000]grupo ortonormal[/color], simbolizado como [color=#cc0000]O(2)[/color] (el número 2 corresponde a la dimensión del plano). [br][br][color=#999999]Nota: La conservación de la orientación según sea positivo o no el determinante de la matriz de cambio de base no es exclusiva de las isometrías, sino que es extensible a cualquier transformación afín.[/color][br][br]En la construcción, puedes elegir cada uno de estos casos. Observa que en todos ellos la imagen del cuadrado unidad sigue siendo un cuadrado unidad (no varía la forma ni el tamaño). Observa también cómo varían las orientaciones de los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b] según los dos casos.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Corte (deslizamiento sesgado)
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: Desliza[/color][br][br]Hasta ahora nos hemos limitado a exponer las cuatro isometrías, es decir, las cuatro transformaciones afines invertibles (equivalentes a un cambio de sistema de referencia) en las que la matriz de cambio de base es ortogonal, lo que a su vez equivale a decir que los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b] del cambio de base han de ser ortogonales y unitarios. En definitiva: la imagen del cuadrado unidad es otro cuadrado unidad.[br][br]Hemos visto, además, que basta analizar las transformaciones lineales, pues las correspondientes transformaciones afines no son más que composiciones de aquellas con traslaciones. Así que solo nos queda preguntarnos qué otros tipos de transformaciones lineales, no isométricas, podemos realizar. Estos tipos son solo dos: [b][i]cortes[/i] [/b](o [i]cortantes [/i]o [i]cizallamientos[/i]) y [b][i]escalados[/i][/b].[br][br]En esta actividad veremos los cortes. Son transformaciones en los que un punto se desplaza en la dirección de una recta que pasa por el origen, pero de modo que su desplazamiento es proporcial a la distancia a esa recta. [br][br]Primero veremos los casos básicos, en los que el corte tiene la dirección de uno de los ejes. Distinguiremos entonces entre el corte dirección X y el corte dirección Y:[br][list][*]En el [b]corte X[/b], el vector [b]a[/b] permanece inalterado (coincide con [b]i[/b]), mientras el vector [b]b[/b] abandona la vertical, "inclinándose" respecto a ella, de tal modo que el cuadrado unidad se transforma en un romboide de base y altura 1. Observa que cada sección horizontal (segmento azul) del romboide es la misma que la del cuadrado unidad original.[/*][*]En el [b]corte Y[/b], el vector [b]b[/b] permanece inalterado (coincide con [b]j[/b]), mientras el vector [b]a[/b] abandona la horizontal, "inclinándose" respecto a ella, de tal modo que el cuadrado unidad se transforma en un romboide de base y altura 1. Observa que cada sección vertical (segmento azul) del romboide es la misma que la del cuadrado unidad original.[br][/*][/list]Los cortes no conservan la forma de las figuras (son [b]transformaciones anamórficas[/b]: [url=https://www.geogebra.org/m/qH4ecQHs]ver aquí un famoso ejemplo[/url]), pues no conservan los ángulos ([b]a[/b] y [b]b[/b] ya no son perpendiculares) y tampoco conservan las distancias, excepto en la dirección de corte. Pero observemos que, en ambos casos, el área del romboide coincide con el área del cuadrado unidad. Por lo tanto, los cortes en el plano sí [b]conservan las áreas[/b] de las figuras.[br][br]En la siguiente construcción puedes comprobar el efecto de ambos casos de corte. Las respectivas matrices de cambio de base son:[br][center]Corte X: [math]M=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}c_x\\1\end{matrix}\right)[/math] Corte Y: [math]M=\left(\begin{matrix}1\\c_y\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]donde c[sub]x[/sub] y c[sub]y[/sub] son los factores de corte:[br][list][*]c[sub]x[/sub] = tg(α), siendo α el ángulo de inclinación de [b]b[/b] con respecto al eje Y.[/*][*]c[sub]y[/sub] = tg(β), siendo β el ángulo de inclinación de [b]a[/b] con respecto al eje X.[br][/*][/list]Los puntos del eje permanecen fijos, mientras que los puntos a una distancia [i]d[/i] del eje son desplazados [i]c d[/i] en la dirección del eje ([i]c[sub]x[/sub] d[/i] en el corte X y [i]c[sub]y[/sub] d[/i] en el corte Y). [br][br]En cada caso, prueba a mover en la construcción el punto P en dirección perpendicular a la dirección del corte.[br][br]Para realizar un corte en otra dirección que no sea horizontal o vertical, basta componer el corte con los correspondientes giros. Así, para realizar un corte paralelo a una recta que forme un ángulo [i]s[/i] respecto al eje X, giramos esa recta -[i]s[/i] grados, realizamos el corte y volvemos a girarla [i]s[/i] grados:[center][math]\left(\begin{matrix}cos\left(s\right)\\sen\left(s\right)\end{matrix}\;\begin{matrix}-sen\left(s\right)\\cos\left(s\right)\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\;\begin{matrix}c_x\\1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\begin{matrix}cos\left(s\right)\\-sen\left(s\right)\end{matrix}\;\begin{matrix}sen\left(s\right)\\cos\left(s\right)\end{matrix}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-c_x\;cos\left(s\right)sen\left(s\right)\\-c_x\;sen^2\left(s\right)\end{matrix}\;\begin{matrix}c_x\;cos^2\left(s\right)\\1+c_x\;cos\left(s\right)sen\left(s\right)\end{matrix}\right)[/math][/center]O bien, si consideramos que el corte tiene por dirección el vector unitario u=(u[sub]x[/sub], u[sub]y[/sub]), esa última matriz es equivalente a la matriz:[center][math]\left(\begin{matrix}1-c_x\;u_xu_y\\-c_x\;u^2_y\end{matrix}\;\begin{matrix}c_x\;u^2_x\\1+c_x\;u_xu_y\end{matrix}\right)[/math][/center]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Polígonos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Hemos visto que podemos partir de las coordenadas cartesianas de un punto P y hallar las correspondientes coordenadas del punto P' = T P en el sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]}.[br][br]Este procedimiento lo podemos aplicar a cualquier colección finita de puntos. En particular, resulta inmediato encontrar la imagen de cualquier polígono aplicando el procedimiento a sus vértices. Como las transformaciones afines conservan la colinealidad, la incidencia y la concurrencia, la imagen de cualquier polígono será otro polígono con el mismo número de lados.[br][br]Todos los triángulos pueden ser obtenidos mediante cambio de sistema de referencia del [color=#cc0000]triángulo[/color][i][color=#cc0000] canónico[/color] [/i]de vértices (0,0), (1,0), (0,1) (o de otro triángulo cualquiera; si elegimos este como [i]canónico [/i]es por su relación con la base canónica de vectores [b]i[/b], [b]j[/b]).[br][br]Recuerda que las transformaciones afines también conservan la convexidad y el paralelismo. Como la imagen del cuadrado unidad es siempre un paralelogramo, solo los cuadriláteros que sean paralelogramos pueden ser obtenidos mediante un cambio de sistema de referencia del cuadrado unidad.[br][br]En la siguiente actividad veremos como encontrar la imagen de un punto genérico ([color=#cc0000]u[/color], [color=#cc0000]v[/color]) cualquiera, sin necesidad de concretar los valores de [color=#cc0000]u[/color] y [color=#cc0000]v[/color].
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Elipse
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: Elipse[/color][br][br]Seguramente la elipse ("circunferencia imperfecta") es la curva plana que mejor ilustra la esencia de un cambio de sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]}.[br][br]Todas las elipses son afínmente equivalentes, y tienen por curva canónica la circunferencia unidad:[center][size=150][color=#cc0000]x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] - 1 = 0[/color][/size][/center]Es sencillo entender por qué. Basta escalar y girar los radios [b]i[/b] y [b]j[/b] de la circunferencia unidad para obtener [b]a[/b] y [b]b[/b], los semiejes de la elipse. Solo queda una traslación del (0, 0) hasta O para completar el cambio de sistema de referencia.[br][br]De hecho, dado el sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]}, si no nos interesa la ecuación algebraica, una manera muy rápida y sencilla de construir la elipse de centro O y semiejes [b]a[/b] y [b]b[/b] es editar su ecuación vectorial con el comando Curva:[center][color=#cc0000]Curva(O + [b]a[/b] cos(t) + [b]b[/b] sen(t), t, 0, 2[color=#cc0000]π[/color])[/color][/center][color=#999999]Nota: En la construcción, observa que el vector [b]b[/b] viene determinado por la posición del punto B. Esto es debido a que queremos forzar a que el vector [b]b[/b] sea uno de los semiejes de la elipse y, por lo tanto, ortogonal al vector [b]a[/b]. Para ello, hemos definido el punto B como un punto arbitrario de la recta perpendicular al vector [b]a[/b] por O.[/color][br][br]De la construcción se deduce inmediatamente el área de la elipse: como hemos escalado los vectores canónicos [b]i[/b] y [b]j[/b] por el módulo de [b]a[/b] y [b]b[/b], respectivamente, el área [math]\pi[/math] del círculo unidad quedará multiplicada por esos valores:[center]área = [math]\pi[/math] |[b]a[/b]| |[b]b[/b]|[/center][color=#999999]Nota: Gracias a los comandos específicos para cónicas de GeoGebra, resulta sencillo invertir el proceso, es decir, dada la ecuación general de la elipse ec', averiguar el cambio de sistema de referencia con respecto al círculo unidad:[br][/color][list][*][color=#999999]O = Centro(ec')[/color][/*][*][color=#999999][b]a[/b] = LongitudSemiejeMayor(ec') Dirección(EjeMayor(ec'))[/color][/*][*][color=#999999][b]b[/b] = LongitudSemiejeMenor(ec') Dirección(EjeMenor(ec'))[/color][/*][/list]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Polinómicas grado 1 (o cero)
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Todas las rectas son afínmente equivalentes y tienen por recta canónica:[center][size=150][color=#cc0000]y = 0[/color][/size][/center]Esta recta canónica queda determinada por el vértice en (0, 0) y la dirección [b]i[/b]. Por lo tanto, una vez aplicado el cambio al sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]} se obtendrá una recta que pasa por O con dirección [b]a[/b]. [br][br][color=#999999]Nota: Observemos que si la primera componente de [b]a[/b] es 0, la recta queda igualmente definida pero ya no sería la representación de una función.[/color][br][br]Como vemos, el vector [b]b[/b] no interviene; por comodidad, tomaremos [b]b[/b]=[b]j[/b]. [br][br][color=#999999]Nota: Si [b]a[/b] también tomase la misma dirección que [b]j[/b], la recta dejaría de ser la representación de una función, así que los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b] tienen garantizada su independencia.[/color][br][br]Por lo tanto, la matriz de cambio de base es:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\;\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)[/math][/center][color=#999999]Nota: Resulta sencillo invertir el proceso, es decir, dada la ecuación de la recta y= A x + B, averiguar el cambio de sistema de referencia con respecto a la recta canónica y=0:[br][/color][list][*][color=#999999]O = (0, B)[/color][/*][*][color=#999999][b]a[/b] = (1, A)[/color][/*][*][color=#999999][b]b[/b] = (0, 1)[/color][br][/*][/list]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Sistemas de referencias en el espacio
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Las coordenadas (p[sub]x[/sub], p[sub]y[/sub], p[sub]z[/sub]) de un punto cualquiera P en el espacio euclídeo son una tríada de números ordenados (primero x, después y, después z) que indican la posición de P en el espacio. El centro de coordenadas es el punto (0, 0, 0). Si consideramos los vectores[br][center][b]i[/b] =[math]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/math], [b]j[/b] =[math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math] y [b]k[/b] =[math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math],[/center]las coordenadas de P significan que el vector de posición de P (que denominamos [b]p[/b]) es una combinación lineal de los vectores [b]i[/b], [b]j[/b],[b] k[/b]:[br][center][b]p[/b]= p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][math]\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]z[/sub][math]\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]Es decir:[center][b]p[/b] = p[sub]x[/sub] [b]i[/b] + p[sub]y[/sub] [b]j[/b] + p[sub]z[/sub] [b]k[/b][/center]Esta combinación lineal depende del sistema de referencia S[sub]3[/sub]={(0, 0, 0), [b]i[/b], [b]j[/b], [b]k[/b]}, formada por el centro de coordenadas y los vectores independientes {[b]i[/b], [b]j[/b], [b]k[/b]}. Este conjunto de tres vectores se denomina [b]base canónica[/b], por lo que al sistema S[sub]3[/sub] le llamaremos [b]sistema de referencia canónico[/b] (también se conoce como [i]sistema de referencia universal[/i]) del espacio euclídeo.[br][br]Si ahora tomamos un sistema de referencia diferente S={O, [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]}, donde O=(o[sub]x[/sub], o[sub]y[/sub], o[sub]z[/sub]) es un punto del espacio y [b]a[/b],[b] b[/b], [b]c[/b] son vectores independientes, un punto P' de coordenadas las mismas que P pero [color=#cc0000]con respecto a este nuevo sistema de referencia S[/color] tendrá como vector de posición, en S, una combinación lineal de los vectores [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]:[center][math]\vec{OP'}[/math]= p[sub]x[/sub] [b]a[/b] + p[sub]y[/sub] [b]b[/b]+ p[sub]z[/sub] [b]c[/b][/center]Por lo que sus coordenadas en el espacio serán:[br][center][b]p'[/b]= [math]\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\p_z\end{matrix}\right)_S[/math]= [math]\left(\begin{matrix}o_x\\o_y\\o_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][math]\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]z[/sub][math]\left(\begin{matrix}c_x\\c_y\\c_z\end{matrix}\right)[/math][/center]La expresión de P' se puede manejar con mayor facilidad sustituyendo la ecuación vectorial por su equivalente ecuación matricial. Para ello, consideramos la matriz M = ([b]a[/b] | [b][b]b[/b][/b] | [b]c[/b]), denominada [b]matriz de cambio de base[/b]:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\;\;\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\;\;\begin{matrix}c_x\\c_y\\c_z\end{matrix}\right)[/math][/center]De este modo, P' se puede expresar simplemente como:[br][center][size=150]P' = O + M P[/size][br][/center]En la construcción, mueve P para observar qué le sucede a P'. Observa que cuando P ocupa la posición (1, 1, 1), P' ocupa la posición O + 1[b]a[/b] + 1[b]b[/b] + 1[b]c[/b]. [br][br][color=#999999]Nota: Que P' quede determinado por S={O, [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]} no significa que S quede determinado por P'. Es decir, el mismo punto P' puede ser imagen del mismo punto P respecto a varios sistemas de referencia diferentes.[br][br]Nota: El eje [b][color=#ff0000]X[/color][/b] es el rojo, el [color=#38761D][b]Y[/b][/color] el verde y el [color=#0000ff][b]Z[/b][/color] el azul; es fácil recordarlo porque sigue el orden del popular código de color [color=#ff0000]R[/color][color=#38761D]G[/color][color=#0000ff]B[/color] ([color=#ff0000][i]red[/i][/color], [color=#38761D][i]green[/i][/color], [color=#0000ff][i]blue[/i][/color]). Para mover los vectores es preciso mover sus extremos A, B y C (al contrario que en el plano, los vectores 3D de GeoGebra no se pueden mover directamente en la gráfica). Además, se debe pulsar sobre cada punto para conmutar entre moverlo en un plano paralelo al plano XY o en una recta paralela al eje Z.[/color]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Isometrías
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. [/color][br][br]Las isometrías son transformaciones afines que conservan las longitudes. Es decir, dados dos puntos P y Q sometidos a la misma isometría, la distancia de P' a Q' es la misma que la de P a Q.[br][br]Por lo tanto, las isometrías mantienen la forma (los ángulos) y el tamaño de las figuras planas sometidas ellas. Lo único que puede variar es la posición o la orientación.[br][br]Esta característica de las isometrías se traduce en una importante propiedad en las matrices de cambio de base. Resulta que:[br][center][color=#cc0000]M=([b]a[/b] | [b]b[/b][color=#cc0000] | [b]c[/b][/color]) es la matriz de cambio de base de una [b]isometría[/b][math]\Longleftrightarrow[/math]M es una [b]matriz ortogonal[/b].[/color][/center]Esto equivale a que los vectores [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] son [color=#cc0000][b]ortogonales y unitarios[/b][/color] (es decir, [i]ortonormales[/i]). Además, el determinante de M ha de valer 1 o -1. En el primer caso determinará un movimiento que conserva la orientación: el giro. En el segundo, determinará un movimiento que invierte la orientación: la reflexión. Ambos tipos de movimientos, reunidos, forman el llamado [color=#cc0000]grupo ortonormal[/color], simbolizado como [color=#cc0000]O(3)[/color] (el número 3 corresponde a la dimensión del espacio).[br][br]En la construcción, puedes elegir las posiciones de [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] (esta última viene determinada por [b]a[/b] y [b]b[/b], salvo en el sentido del vector). Observa que en todos ellos la imagen del cubo unidad sigue siendo un cubo unidad (no varía la forma ni el tamaño).
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Corte (deslizamiento sesgado)
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: no hay, al menos de momento.[/color][br][br]Hasta ahora nos hemos limitado a exponer las cuatro isometrías, es decir, las cuatro transformaciones afines invertibles (equivalentes a un cambio de sistema de referencia) en las que la matriz de cambio de base es ortogonal, lo que a su vez equivale a decir que los vectores [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] del cambio de base han de ser ortogonales y unitarios. En definitiva: la imagen del cubo unidad es otro cubo unidad.[br][br]Hemos visto, además, que basta analizar las transformaciones lineales, pues las correspondientes transformaciones afines no son más que composiciones de aquellas con traslaciones. Así que solo nos queda preguntarnos qué otros tipos de transformaciones lineales, no isométricas, podemos realizar. Estos tipos son solo dos: [b][i]cortes[/i] [/b](o [i]cortantes [/i]o [i]cizallamientos[/i]) y [b][i]escalados[/i][/b].[br][br]En esta actividad veremos los cortes. Son transformaciones en los que un punto se desplaza paralelamente a un plano que pasa por el origen, pero de modo que su desplazamiento es proporcial a la distancia a ese plano. [br][br]Veremos los casos básicos, en los que el corte es paralelo a los planos XY, XZ o YZ, ya que para otro plano basta componer el corte con los correspondientes giros, tal como hemos visto en los cortes del plano. [br][list][*]En el [b]corte XY[/b], los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b] permanecen inalterados (coinciden con [b]i[/b] y [b]j[/b]), mientras el vector [b]c[/b] abandona la ortogonalidad con el plano XY, "inclinándose" respecto a él. Cada sección paralela al plano XY del cubo unidad mantiene su forma y tamaño.[/*][*]En el [b]corte XZ[/b], los vectores [b]a[/b] y [b]c[/b] permanecen inalterados (coinciden con [b]i[/b] y [b]k[/b]), mientras el vector [b]b[/b] abandona la ortogonalidad con el plano XZ, "inclinándose" respecto a él. Cada sección paralela al plano XZ del cubo unidad mantiene su forma y tamaño.[/*][*]En el [b]corte YZ[/b], los vectores [b]b[/b] y [b]c[/b] permanecen inalterados (coinciden con [b]j[/b] y [b]k[/b]), mientras el vector [b]a[/b] abandona la ortogonalidad con el plano YZ, "inclinándose" respecto a él. Cada sección paralela al plano YZ del cubo unidad mantiene su forma y tamaño.[/*][/list]En cualquier caso, el cubo unidad se transforma en un paralelepípedo de base y altura 1.[br][br]Los cortes no conservan la forma de las figuras, pues no conservan los ángulos ([b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] ya no son ortogonales) y tampoco conservan las distancias, excepto en la dirección del plano de corte. Pero observemos que el volumen del paralelepípedo coincide con el volumen del cubo unidad. Por lo tanto, los cortes en el espacio [b]conservan los volúmenes[/b].[br][br]En la siguiente construcción puedes comprobar el efecto de estos tres tipos de corte. Las respectivas matrices de cambio de base son:[br][center]Corte XY: [math]M=\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}c_{xz}\\c_{yz}\\1\end{matrix}\right)[/math] Corte XZ: [math]M=\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}c_{xy}\\1\\c_{zy}\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] Corte YZ: [math]M=\left(\begin{matrix}1\\c_{yx}\\c_{zx}\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]donde c[sub]xz[/sub] = tg(α[sub]z[/sub]), c[sub]yz[/sub] = tg(β[sub]z[/sub]), c[sub]xy[/sub] = tg(α[sub]y[/sub]), c[sub]zy[/sub] = tg(γ[sub]y[/sub]), c[sub]yx[/sub] = tg(β[sub]x[/sub]), c[sub]zx[/sub] = tg(γ[sub]x[/sub]) son los factores de corte, siendo:[br][list][*]α[sub]z[/sub], β[sub]z[/sub][sub] [/sub]son, respectivamente, los ángulos de inclinación de [b]c[/b] con respecto al plano YZ y XZ.[/*][*]α[sub]y[/sub], γ[sub]y[/sub] son, respectivamente, los ángulos de inclinación de [b]b[/b] con respecto al plano YZ y XY.[br][/*][*]β[sub]x[/sub][sub], [/sub]γ[sub]x[/sub][sub] [/sub]son, respectivamente, los ángulos de inclinación de [b]a[/b] con respecto al plano XZ y XY.[/*][/list]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]