Polynominterpolation nach Lagrange

Johannes Schlaf, Mar 5, 2023

Möchte man eine Funktion ermitteln, die Punkte miteinander verbindet, nennt man dies [b]Interpolation[/b]. Verwendet man hierfür eine Polynomfunktion, nennt man das ganze [b]Polynominterpolation[/b]. Die Funktion nennt man [b]Interpolationspolynom[/b]. [i]Hinweis:[/i] Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form [math]f(x) = a+bx+cx^2+dx^3+\dots[/math] Eine solche Interpolation lässt sich z.B. als Steckbriefaufgabe behandeln. Hierzu stellt man ein lineares Gleichungssystem auf und löst dieses. Eine Interpolation lässt sich jedoch auch ohne Gleichungssystem durchführen. Eine Methode hierzu ist die [b]Lagrange-Polynominterpolation[/b]. [color=#0a971e]In dieser Lernumgebung geht es darum, wie und wieso diese Methode funktioniert.[/color]

Table of Contents

  1. Grundlage: Nullstellen
    1. Aufgabe 1: Drei Nullstellen
  2. Das Lagrange-Polynom
    1. Aufgabe 2: Zwei Nullstellen und ein Punkt
    2. Aufgabe 3: Aufstellen einer Formel
    3. Übung 1: Die Tyne-Bridge
  3. Nutzung des Lagrange-Polynoms
    1. Aufgabe 4: Drei beliebige Punkte (Bonus)
    2. Übung 2: Der Ballwurf (Bonus)

1.

Grundlage: Nullstellen

  • 1. Aufgabe 1: Drei Nullstellen

1.1.

Aufgabe 1: Drei Nullstellen

Wir betrachten zunächst den Fall, dass alle Punkte auf der x-Achse liegen.[br]In dem untenstehenden Applet sind drei solche Punkte vorgegeben.[br][br][color=#1155Cc]Passt die Parameter [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] so an, dass die Funktion [math]f\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot\left(x-b\right)\cdot\left(x-c\right)[/math] durch die vorgegebenen Punkte verläuft.[br][br]Beantwortet anschließend die Fragen unterhalb des Applets.[/color]
Wie lauten die korrekten Parameter [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math]?
Beschreibe deine Vorgehensweise.
Gibt es eine Funktion niedrigeren Grades (d.h. mit einem Grad kleiner als 3), die die Punkte miteinander verbindet?
[size=50]Diese Aktivität, sowie sämtliche Applets innerhalb unterliegen der GeoGebra-Lizenz: [url=https://www.geogebra.org/license]https://www.geogebra.org/license[/url][/size]
– Johannes Schlaf

2.

Das Lagrange-Polynom

  • 1. Aufgabe 2: Zwei Nullstellen und ein Punkt
  • 2. Aufgabe 3: Aufstellen einer Formel
  • 3. Übung 1: Die Tyne-Bridge

2.1.

Aufgabe 2: Zwei Nullstellen und ein Punkt

In der letzten Aufgabe lagen alle Punkte auf der x-Achse. In dieser Aufgabe liegt einer der Punkte nicht auf der x-Achse.[br][br][color=#1155Cc]Erarbeitet euch mithilfe des untenstehenden Applets eine Herangehensweise, um ein Interpolationspolynom zu finden.[br][br]Beantwortet anschließend die darunter stehenden Fragen.[/color]
Welchen Grad haben die Interpolationsfunktionen im Applet?
Gibt es auch Funktionen mit kleinerem Grad, die die Punkte im Applet verbinden?
[size=50]Diese Aktivität, sowie sämtliche Applets innerhalb unterliegen der GeoGebra-Lizenz: [url=https://www.geogebra.org/license]https://www.geogebra.org/license[/url][/size]
– Johannes Schlaf

2.2.

–

2.3.

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3.

Nutzung des Lagrange-Polynoms

  • 1. Aufgabe 4: Drei beliebige Punkte (Bonus)
  • 2. Übung 2: Der Ballwurf (Bonus)

3.1.

Aufgabe 4: Drei beliebige Punkte (Bonus)

In dieser Aufgabe geht es darum, wie man Lagrange-Polynome nutzen kann, um beliebige Punkte zu verbinden.[br][br][color=#1155Cc]Erarbeitet euch mithilfe des untenstehenden Applets eine Herangehensweise hierzu.[br][br]Beantwortet anschließend die darunter stehenden Fragen.[/color]
Wie lauten die Funktionen [math]p_A[/math], [math]p_B[/math] und [math]p_C[/math]?
Wie lautet dann das Interpolationspolynom [math]p\left(x\right)=p_A\left(x\right)+p_B\left(x\right)+p_C\left(x\right)[/math]?
[size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50]Diese Aktivität, sowie sämtliche Applets innerhalb unterliegen der Geogebra-Lizenz: [size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][size=50][url=https://www.geogebra.org/license]https://www.geogebra.org/license[/url][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][br][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size]
– Johannes Schlaf

3.2.

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