La fábrica de teselados
Del mismo modo que la calculadora y las hojas de cálculo ahorran gran parte del cálculo mecánico, algunos escenarios de GeoGebra nos pueden permitir dejar la mecánica al programa para concentrarnos en la esencia de la construcción deseada. Por ejemplo, el libro "El dominio del Tiempo" (https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4) crea un escenario que convierte la pantalla de GeoGebra en un laboratorio de cinemática. En este libro GeoGebra se expone un procedimiento general para crear teselaciones a partir de un azulejo principal, consumiendo un mínimo de recursos. Esto permite no solo expandir el mosaico todo lo que se desee, sino también reflejarlo en una circunferencia sin que el programa pete. Así, profesores y alumnos (se entiende de cualquier sexo) solo tienen que concentrarse en la creación del motivo o azulejo que se quiera copiar por todo el plano. Para facilitar su uso, se cuenta con una construcción "plantilla", a partir de la cual resulta muy sencillo crear nuevas construcciones. Rafael Losada Liste Instituto GeoGebra de Cantabria
Table of Contents
- Introducción
- Introducción
- El azulejo fundamental
- La fábrica de teselados
- Funcionalidades
- Cuadriculado
- Ajedrezado (versión completa)
- Ajedrezado (versión económica)
- Ajedrezado (versión rechazada)
- Teselados equivalentes
- Número cromático
- La espiral de Ulam
- Moldes
- La inversión
- Diseño del azulejo fundamental
- Ejemplos regulares
- Azulejo 4⁴
- Azulejo 6³
- Azulejo 3⁶
- Ejemplos semirregulares
- Azulejo 3.6.3.6
- Azulejo 3.3.3.3.6
- Azulejo 3.3.3.4.4
- Azulejo 3.3.4.3.4
- Azulejo 3.4.6.4
- Azulejo 4.8.8
- Azulejo 4.6.12
- Azulejo 3.12.12
- Composiciones poligonales
- Teselado demirregular
- Dualidad: El Cairo
- Hexágonos convexos no regulares
- Hexágonos no convexos
- Carretillas de Penrose
- Teselado pitagórico
- Arte
- Matemáticas, Arte y Creatividad
- Hueso nazarí
- Pajarita nazarí
- Arte pop y azar
- El mosaico de Jean-Baptiste
- El mosaico de Alejandro
- Convirtiendo las líneas negras
- Mondrian
- MacMahon
- La plantilla
- La plantilla
Introducción
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][br][br]Una de las ideas más atractivas para la mente humana es la idea de la supresión de barreras, de límites. La infinitud. La eternidad. El arte islámico supo aprovechar las "teóricamente" infinitas copias de un mismo motivo geométrico para recrear esa idea en quienes transiten entre sus mosaicos.[br][br]Este libro de GeoGebra pretende crear una fábrica de teselados. La construcción [url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd#material/cukw27qf][b]Plantilla[/b][/url], al final del libro, se encargará de crear las copias que se quieran, es decir, de [b]trasladar [/b]el azulejo por todo el plano, con colores seleccionados o aleatorios. También podrá [b]invertir [/b]todo el mosaico en una circunferencia.[br][br]Esa plantilla resulta muy adecuada como base para la [b]propuesta de proyectos educativos[/b] (especialmente en enseñanza secundaria), ya que permite observar, explorar, conjeturar, comprobar e investigar una amplia gama de situaciones matemáticas, al tiempo que estimula el sentido estético. No solo necesitaremos usar la geometría euclídea, sino que además surgirán cuestiones de aritmética, álgebra, geometría analítica, teoría de grafos, combinatoria y probabilidad. El campo a explorar es tan extenso y abierto que aquí solo esbozaremos algunas ideas básicas.[br][br]Se suma así a otros dos trabajos que he realizado últimamente ([url=https://www.geogebra.org/m/vbvavfjz]GeoGebra Principia[/url] y [url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url]), con el mismo objetivo de facilitar investigaciones matemáticas con un mínimo de recursos.[br][br]No obstante, antes de descargar y usar la Plantilla, recomiendo realizar una rápida incursión por los ejemplos recogidos en este libro. Este vistazo nos permitirá obtener una idea general del proyecto, lo que sin duda facilitará la comprensión de los detalles puntuales.
[color=#999999]Autor de la actividad: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Funcionalidades
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][/color][br][br]La construcción Plantilla se encargará de copiarlo por todo el plano, [i]ad infinitum[/i] ([i]et ultra[/i]). Además, dispone de las siguientes funcionalidades:[br][list][*]Botón de reiniciar, una vez establecidas las opciones deseadas.[/*][/list][list][*]Detener temporalmente el proceso de copiado.[/*][/list][list][*]Visualización del número de copia (número de traslaciones realizadas) y número de vuelta (ver [url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd#material/qetqsu23]La espiral de Ulam[/url]).[/*][/list][list][*]No colorear, solo ver el borde de las regiones. En este caso, también permite seleccionar el grosor del borde.[/*][/list][list][*]Ampliar o reducir la vista gráfica (hacer zum), mientras esto se haga [i]antes [/i]del proceso de copiado. Para ello, basta pulsar sobre ella y usar la rueda del ratón. El botón de reiniciar regresa a la vista estándar. Debemos cuidar especialmente de no hacer zum mientras se ejecuta el proceso de copiado, pues en tal caso las copias ya existentes desaparecerán (recuerda que son rastros).[/*][/list][list][*]Colorear con los colores de la paleta.[/*][/list][list][*]Colorear con colores aleatorios (activable incluso ya comenzada la ejecución).[/*][/list][list][*]Colorear con colores aleatorios cambiantes (varían en cada copia realizada, ver [url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd#material/jy6egdzx]Arte pop[/url]).[/*][/list][list][*]Colorear con colores aleatorios de la paleta.[/*][/list][list][*]Colorear con colores aleatorios de la paleta, cambiantes (ver [url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd#material/na2kk9zk]Matemáticas, Arte y Creatividad[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd#material/czgxruhe]Mondrian[/url] y [url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd#material/kkrbsekj]MacMahon[/url]).[/*][/list][list][*][b]Invertir [/b]todo el mosaico: cada copia se invierte en una circunferencia antes de ser colocada.[/*][/list][list][*]Modo oscuro: se realiza "el negativo" de los colores de la paleta (con fondo de pantalla en negro).[/*][/list][list][*]Exportar la imagen del mosaico, pulsando el botón "Exporta imagen". Aparecerá un cuadro de diálogo en el que puedes elegir la ubicación de la imagen (en el caso de que abras el archivo con GeoGebra 5, en modo local, la imagen se copiará directamente al Portapapeles; si se desea guardar como archivo, se puede usar el menú de Exportar, pero antes es recomendable hacer clic sobre la vista gráfica para que sea esta vista la que se guarde).[/*][/list][br]Nota: en ocasiones puede ser necesario volver a pulsar el botón de Reiniciar después de modificar alguna de las opciones. Por ejemplo, al cambiar la opción de Modo oscuro.
[color=#999999]Autor de la actividad: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Azulejo 4⁴
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][br][/color][br]Este teselado está formado exclusivamente por cuadrados. Como cada ángulo interior es de 90º, en cada vértice concurren 360º/90º = 4 cuadrados. Podemos simbolizarlo, entonces, como [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Square_tiling]4.4.4.4[/url] o 4⁴.[br][br]Al iniciarse, la construcción muestra el azulejo de partida. El plano entero, siendo infinito, puede recubrirse trasladando ese azulejo mediante combinaciones lineales de los vectores [color=#cc0000]u[/color] y [color=#cc0000]v[/color]. Observa también que el azulejo puede obtenerse mediante la reflexión o rotación de un solo cuadrado fundamental. Bastan 2 colores para pintar todo el mosaico de modo que dos polígonos adyacentes no tengan el mismo color.[br][br]Estas son las variaciones que hemos realizado en la construcción plantilla:[br][br][color=#cc0000]númeroListas = 2[br]lista1 = {Polígono((-1, -0.5), (0, -0.5), 4)}[br]lista2 = {Polígono((0, -0.5), (1, -0.5) , 4)}[br][br]u = (2, 0)[br]v = (1, 1)[/color][br][br]Colores elegidos por defecto:[br][br][color=#cc0000]paleta = {{0, 100, 0}, {102, 204, 0}}[/color][br][br]Si observas que la velocidad de ejecución se ralentiza después de activar algunas casillas para elegir otras opciones, prueba a recargar esta página y elegir las casillas deseadas [u]antes[/u] de iniciar la ejecución. Si tienes instalado GeoGebra, también puedes descargar el [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/yrhhandk]archivo GGB[/url].
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Azulejo 3.6.3.6
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][br][/color][br]Este teselado está formado por triángulos equiláteros y hexágonos regulares. En cada vértice, concurren dos triángulos y dos hexágonos (2 · 60º + 2 · 120º = 360º), pero los hexágonos no son adyacentes. Podemos simbolizarlo, entonces, como [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Trihexagonal_tiling]3.6.3.6[/url].[br][br]Al iniciarse, la construcción muestra el azulejo de partida. El plano entero, siendo infinito, puede recubrirse trasladando ese azulejo mediante combinaciones lineales de los vectores [color=#cc0000]u[/color] y [color=#cc0000]v[/color]. Bastan 2 colores para pintar todo el mosaico de modo que dos polígonos adyacentes no tengan el mismo color.[br][br]Estas son las variaciones que hemos realizado en la construcción plantilla:[br][br][color=#cc0000]k = sqrt(3) / 2[br][br]númeroListas = 2[br]lista1 = {Polígono((-0.5, -k), (0, 0), 6)}[br]lista2 = {Polígono((0, 0), (-0.5, -k), 3), Polígono((-0.5, k), (0, 0), 3), Polígono((-1.5, k), (-0.5, k), 3)}[br][br]u = (2, 0)[br]v = (1, 2k)[/color][br][br]Colores elegidos por defecto:[br][br][color=#cc0000]paleta = {{241, 203, 9}, {14, 86, 30}}[/color][br][br]Si observas que la velocidad de ejecución se ralentiza después de activar algunas casillas para elegir otras opciones, prueba a recargar esta página y elegir las casillas deseadas [u]antes[/u] de iniciar la ejecución. Si tienes instalado GeoGebra, también puedes descargar el [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/deuywb3r]archivo GGB[/url].
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Teselado demirregular
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][br][/color][br]Este teselado está formado por triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares y dodecágonos regulares. [br][br]A pesar de que todos los polígonos son regulares, no se considera un teselado semirregular (sino "demirregular") porque la [i]configuración de sus vértices[/i], es decir, la distribución de los polígonos en cada vértice, no es uniforme. Observa que hay vértices en donde concurre el dodecágono y otros en donde no.[br][br]Los teselados regulares y semirregulares tienen una configuración de sus vértices [i]uniforme[/i]. El teselado de esta construcción no es uniforme, sino 2-uniforme, lo que significa que tiene vértices con dos tipos distintos de configuración (4.6.12 y 3.4.6.4). Existen [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_tilings_by_convex_regular_polygons#2-uniform_tilings]20 tipos[/url] de teselaciones 2-uniformes (o demirregulares).[br][url=https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_k-uniform_tilings][br]El juego continúa[/url]. Podemos unir los polígonos regulares formando teselaciones 3-uniformes, 4-uniformes, etc. [br][br]Si observas que la velocidad de ejecución se ralentiza después de activar algunas casillas para elegir otras opciones, prueba a recargar esta página y elegir las casillas deseadas [u]antes[/u] de iniciar la ejecución. Si tienes instalado GeoGebra, también puedes descargar el [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/t8kmetjj]archivo GGB[/url].
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Matemáticas, Arte y Creatividad
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][br][/color][br]El [url=https://www.rsme.es/2024/09/dia-internacional-de-las-matematicas-2025-matematicas-arte-y-creatividad/]Día Internacional de las Matemáticas[/url] (14 de marzo, recordando al número π = 3.14...) está dedicado este año 2025 al Arte y la Creatividad. Como homenaje a ese día, vamos a construir una imagen parecida a la que sirve de cartel, sustituyendo, con la inversión, las espirales logarítmicas que aparecen en él. Con ello, las ramas espirales pasarán a ser arcos de circunferencia, estructuras geométricas claramente diferentes, aunque en ocasiones [url=https://www.geogebra.org/m/huta4r5s]puedan llegar a confundirse[/url].
[size=85][size=50]Cartel del International Day of Mathematics 2025: Mathematics, Art and Creativity.[/size][/size]
[size=50]Imagen generada por la construcción presente en esta página.[/size]
El diseño de este cartel se basa en dos secuencias de espirales logarítmicas:[br][br][color=#cc0000]Secuencia(Curva((2ℯ^(t+2); kπ/7 + t), t, -π, π), k, -6, 7)[br]Secuencia(Curva((2ℯ^(t+2); kπ/7 - t), t, -π, π), k, -6, 7)[/color]
Ahora prepararemos nuestra versión homenaje. Estas son las variaciones que hemos realizado en la construcción plantilla:[br][br][color=#cc0000]númeroListas = 1[br]lista1 = {Polígono((-0.5, -0.5), (0.5, -0.5), 4)}[br]u = (2, 0)[br]v = (1, 1) [br][br]paleta = {{0, 103, 178}, {6, 174, 237}, {6, 166, 80}, {167, 207, 58}, {240, 29, 38}, {255, 204, 3}, {201, 89, 163}, {117, 112, 178}, {246, 129, 36}}[br][/color][br]Hemos elegido la paleta con los mismos colores que el cartel original. Observa también que hemos usado la versión "económica", es decir, el fondo blanco de la pantalla como segundo color. [br][br]Ahora solo hace falta poner a trabajar a nuestra fábrica.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
La plantilla
[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[br][/color][/color][br]Esta es la construcción que ha de usarse de plantilla. Con ella he creado todas las demás que sirven de ejemplo en este libro de GeoGebra.[br][br]El azulejo de partida tiene 4 regiones cuadradas (númeroListas=4). El plano entero, siendo infinito, puede recubrirse trasladando ese azulejo mediante combinaciones lineales de los vectores [color=#cc0000]u[/color] y [color=#cc0000]v[/color]. [br][center][b][url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/pugebuad]PULSA AQUÍ PARA DESCARGAR LA CONSTRUCCIÓN PLANTILLA[/url][/b][/center]Estas son las instrucciones establecidas en un principio:[br][br][color=#cc0000]númeroListas = 4[br]lista1 = {Polígono((0, 0), (1, 0), 4)}[br]lista2 = {Polígono((-1, 0), (0, 0), 4)}[br]lista3 = {Polígono((0, 0), (-1, 0), 4)}[br]lista4 = {Polígono((1, 0), (0, 0), 4)}[br][br]u = (2, 0)[br]v = (0, 2)[/color][br][br]Colores elegidos:[br][br][color=#cc0000]paleta = {{52, 168, 83},{234, 67, 53},{66, 133, 244},{251, 188, 5}}[/color][br][br]Estas instrucciones corresponden al azulejo básico que se va a trasladar por toda la pantalla. Es decir, son las instrucciones que debes cambiar para adaptarlas a un nuevo azulejo básico. También puedes variar el radio de la circunferencia "c" en la que se invierte el mosaico. Por defecto, hemos elegido radio 5, pues es el que mejor se ajusta a la pantalla en la mayoría de las construcciones de ejemplo, si bien en algunas de ellas, para mejorar el resultado, hemos reducido ligeramente este radio.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]