[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mrvzmuk6]Julia y Mandelbrot[/url].[/color][br][br][b]Se recomienda descargar el archivo ggb para una mayor agilidad del escáner.[/b][br][br]En esta actividad puedes explorar en profundidad uno de los fractales más famosos, el [i]conjunto de Mandelbrot[/i], gracias a un "super microscopio" de... ¡casi 400.000 aumentos![br][br]En las siguientes imágenes, obtenidas con la aplicación de más abajo, los puntos negros corresponden a valores de partida que no pertenecen al conjunto de Mandelbrot porque la sucesión supera una cota prefijada. Los puntos de la frontera pueden pertenecer o no, ya que su color depende del número de pasos ([b]iteraciones[/b]) que hayamos dado. Cuantas más iteraciones, más puntos dejarán de "estar indecisos" y se volverán negros porque habrán superado esa cota.[br][br][table][tr][td][/td][td]Zoom[/td][td]Iteraciones[/td][td][/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/ehqscrde/spxdWbjnLTyHTL83/material-ehqscrde.png][img]https://www.geogebra.org/resource/ydun8stb/4nKEvYYcmyDitWiB/material-ydun8stb.png[/img][/url][/td][td][center]5[/center][/td][td][center]93[/center][/td][td]Imagen global del conjunto de Mandelbrot. Los puntos negros son aquellos que no pertenecen al conjunto.[br][br]En la vista estándar de GeoGebra, una unidad (1 cm en papel) ocupa 50 píxeles. Como aquí está aumentada 5 veces, cada píxel de esta imagen equivaldría, en el mundo físico, a 1/250 cm, es decir, 40 micras, la mitad del grosor de un cabello humano.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/m754fjr2/1QsA2RRdy0lD7nJc/material-m754fjr2.png][img]https://www.geogebra.org/resource/x4r7pdpf/wLbfdJ80UNUTgoHY/material-x4r7pdpf.png[/img][/url][/td][td][center]5[/center][/td][td][center]600[/center][/td][td]Al incrementar el número de iteraciones obtenemos una imagen más precisa del conjunto de Mandelbrot. Observa que ahora en la frontera hay más puntos negros, es decir, puntos descartados porque ya sabemos que no pertenecen al conjunto.[br][/td][/tr][/table][br]Las siguientes imágenes muestran una aproximación sucesiva al punto señalado con una flecha en la imagen de arriba. Ese punto tiene coordenadas (-0.167283, 1.041326). Después, cada zoom amplía el centro de la imagen 5 veces. Esto nos permite observar otra de las características que definen a un fractal: la autosimilitud o autosemejanza, es decir, la silueta del conjunto aparece infinitas veces, en diferentes regiones y a diferentes escalas.[br][br][table][tr][td][/td][td]Zoom[/td][td]Iteraciones[/td][td][br][/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/urggzpgw/Y0O0UgKYTHeSokry/material-urggzpgw.png][img]https://www.geogebra.org/resource/pw62xgd7/TFF7dCwiqwHoBd2y/material-pw62xgd7.png[/img][/url][/td][td][center]25[/center][/td][td][center]93[/center][/td][td]Ampliación x5 de la primera imagen, tomando como centro el punto (-0.167283, 1.041326), que ahora aparece como una pequeña mancha amarilla.[br][/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/mrh2vv35/vGVmPtu2wsIeseH6/material-mrh2vv35.png][img]https://www.geogebra.org/resource/u6d7sf7u/LwubfuwHjeLWsvMI/material-u6d7sf7u.png[/img][/url][/td][td][center]125[/center][/td][td][center]93[/center][/td][td]Ampliación x5 del centro de la imagen anterior. La pequeña mancha anterior ¡tiene en realidad la misma forma que todo el conjunto de Mandelbrot![/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/zb6wbnds/lp78DMcuRYDQgxHU/material-zb6wbnds.png][img]https://www.geogebra.org/resource/xc4un3yn/V4kColxttUxEyXYU/material-xc4un3yn.png[/img][/url][/td][td][center]625[/center][/td][td][center]93[/center][/td][td]Ampliación x5 del centro de la imagen anterior. Observa el color rojo: corresponde a puntos que no pertenecen al conjunto de Mandelbrot, pero que están muy cerca de otros amarillos que, con solo 93 pasos, no sabemos si van a generar una sucesión acotada o no.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/ar8rbftc/2rA4kIdBPb5mCE1k/material-ar8rbftc.png][img]https://www.geogebra.org/resource/ht3musmt/Ztp1JN3XmJbu2c4R/material-ht3musmt.png[/img][/url][/td][td][center]3125[/center][/td][td][center]93[/center][/td][td]Ampliación x5 del centro de la imagen anterior. La región roja es muy amplia, por lo que decidimos aumentar el número de iteraciones de 93 a 300 (ver siguiente imagen). El escáner se vuelve más lento porque requiere mayor cálculo.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/pygh8crv/V2haqqDJ47NYlQT5/material-pygh8crv.png][img]https://www.geogebra.org/resource/hpek9etp/tDEgFjdT1Ym7SoWJ/material-hpek9etp.png[/img][/url][/td][td][center]3125[/center][/td][td][center]300[/center][/td][td]La misma imagen anterior, con 300 iteraciones. La franja roja casi desaparece completamente, mientras que la indecisa amarilla se vuelve blanca, color que corresponde a puntos que ahora sí sabemos que pertenecen al conjunto.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/zbmrdjju/f1NeyknR0UuNM5Aw/material-zbmrdjju.png][img]https://www.geogebra.org/resource/bfxk2xrv/nhOXARQf5JuBKhmQ/material-bfxk2xrv.png[/img][/url][/td][td][center]15625[/center][/td][td][center]300[/center][/td][td]Ampliación x5 del centro de la imagen anterior. ¡Otra vez la misma forma que todo el conjunto de Mandelbrot! Como de nuevo aparece la difusa zona roja, decidimos poner el número de iteraciones al máximo.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/d5rpbkec/y8z0sh8hN4bMLPTH/material-d5rpbkec.png][img]https://www.geogebra.org/resource/uqk4xd8m/Xr1ZumZsgbFN5gQH/material-uqk4xd8m.png[/img][/url][/td][td][center]15625[/center][/td][td][center]600[/center][/td][td]La misma imagen anterior, con 600 iteraciones. La silueta del conjunto de Mandelbrot se perfila con mayor nitidez.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/hacqckgr/hfwIWoTBedEyqSUK/material-hacqckgr.png][img]https://www.geogebra.org/resource/fbsqtu67/w5T4tqLGqjSuS9Ah/material-fbsqtu67.png[/img][/url][/td][td][center]78125[/center][/td][td][center]600[/center][/td][td]Ampliación x5 del centro de la imagen anterior. Podríamos subir el número de iteraciones para obtener una imagen más nítida, pero la aplicación resultaría demasiado lenta (incluso descargando el archivo ggb). [/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/tnqz9typ/TLHldDOVT5RlQwL9/material-tnqz9typ.png][img]https://www.geogebra.org/resource/qw8ndpk2/oCAznP7E8j9NauF2/material-qw8ndpk2.png[/img][/url][/td][td][center]390625[/center][/td][td][center]600[/center][/td][td]Ampliación x5 del centro de la imagen anterior. Aunque difusa, podemos reconocer de nuevo, en el centro de la imagen, la silueta blanca del conjunto de Mandelbrot. Si este microscopio matemático se construyese en el mundo físico, el ancho de cada píxel equivaldría a medio nanómetro, es decir, ¡solo unas cuatro veces el diámetro medio de un átomo! [/td][/tr][/table][br]Si el ordenador no tuviera limitaciones de velocidad de cálculo, podríamos seguir indefinidametne con este juego de aumentar el zoom y aumentar el número de iteraciones. Pero, ya que el juego no tiene final (el mundo matemático es diferente al mundo físico)... ¡en algún momento hemos de detener el zoom! Así que lo dejamos aquí.[br][br]No solo podemos encontrar imágenes con la forma del conjunto de Mandelbrot. En las franjas fronterizas, según avanzamos el número de iteraciones, los colores representan diferentes velocidades de crecimiento de cada sucesión, creando fascinantes imágenes por todas partes. ¡Búscalas! (Además de poder variar el zoom y el número de iteraciones, puedes elegir en cualquier momento el centro de la región a explorar.)[br][table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/fewazrbk/QEdRihWrw3eQWTR4/material-fewazrbk.png][img]https://www.geogebra.org/resource/qfr7g4q8/2uUsdXtSfVhcw07o/material-qfr7g4q8.png[/img][/url][/td][td]Esta espectacular imagen corresponde a este detalle en el borde del conjunto de Mandelbrot:[br][br]Zoom: x3125[br]Iteraciones: 183 [br]Centro: (-0.05478, 0.65334)[/td][/tr][/table]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]