[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. [/color][br][br]Observa que en el capítulo de Isometrías, en todas ellas, salvo en la traslación, el origen O del nuevo sistema de referencia coincide con el origen cartesiano (0,0,0). Es decir, este punto (0,0,0) permanece fijo. [br][br]Dicho de otro modo, las transformaciones isométricas que hemos visto hasta ahora son todas, salvo la traslación, transformaciones lineales. [br][br]¿Cómo podemos entonces realizar una transformación isométrica afín? Es decir, dada una figura espacial, ¿cómo podemos girarla alrededor de un centro O arbitrario o reflejarla en una recta arbitraria?[br][br]Gracias al uso de coordenadas homogéneas y a la composición, el método para lograrlo es muy sencillo. Lo único que tenemos que hacer es componer la traslación con las isometrías lineales ya vistas.[br][br]En la siguiente construcción se muestra un ejemplo. Queremos girar [i]t[/i] grados el poliedro [b][color=#0000ff]F[/color][/b] alrededor de la recta que pasa por O=(0, 3, 0) con vector director unitario [b]u[/b]=[math]\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/math].[br][br]Primero, llamaremos T[sub]o[/sub] a la traslación de (0,0,0) a O. Recordemos que su inversa, T'[sub]o[/sub] es la traslación de O a (0,0,0).[br][br]Después, calculamos la matriz de cambio de base correspondiente al giro alrededor de la recta:[br][center][math]M_g=\left(\begin{matrix}u_x u_x \left(1-cos\left(t\right)\right)+cos\left(t\right)\\u_x u_y \left(1-cos\left(t\right)\right)+u_z sen\left(t\right)\\u_x u_z \left(1-cos\left(t\right)\right)-u_y sen\left(t\right)\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}u_y u_x \left(1-cos\left(t\right)\right)-u_z sen\left(t\right)\\u_y u_y \left(1-cos\left(t\right)\right)+cos\left(t\right)\\u_y u_z \left(1-cos\left(t\right)\right)+u_x sen\left(t\right)\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}u_z u_x \left(1-cos\left(t\right)\right)+u_y sen\left(t\right)\\u_z u_y \left(1-cos\left(t\right)\right)-u_x sen\left(t\right)\\u_z u_z \left(1-cos\left(t\right)\right)+cos\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][/center]Sustituyendo las componentes u[sub]x[/sub], u[sub]y[/sub], u[sub]z[/sub] del vector [b]u[/b]:[br][br][center][math]M_g=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\\frac{\sqrt{2}}{2} sen\left(t\right)\\-\frac{\sqrt{2}}{2} sen\left(t\right)\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}-\frac{\sqrt{2}}{2} sen\left(t\right)\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\left(t\right)\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(t\right)\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} sen\left(t\right)\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(t\right)\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\left(t\right)\end{matrix}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}2\;cos\left(t\right)\\\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\-\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}-\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\ 1+cos\left(t\right)\\1-cos\left(t\right)\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\1-cos\left(t\right)\\1+cos\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][/center]Así que la matriz de transformación para ese giro será:[br][center][math]T_g=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}2\;cos\left(t\right)\\\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\-\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\0\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}-\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\ 1+cos\left(t\right)\\1-cos\left(t\right)\\0\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}\sqrt{2}\;sen\left(t\right)\\1-cos\left(t\right)\\1+cos\left(t\right)\\0\end{matrix}\;\;\;\begin{matrix}0\\0\\0\\2\end{matrix}\right)[/math][/center]Ahora hacemos lo siguiente, en este orden: [br][list=1][*]Trasladamos el plano por el vector opuesto al vector de posición de O (de este modo, O coincidirá con el origen cartesiano). Es decir, aplicamos T'o.[/*][*]Aplicamos la transformación lineal T[sub]g[/sub].[/*][*]Volvemos a trasladar el plano, esta vez por el vector de posición de O (de este modo, O volverá a ocupar la posición inicial). Es decir, aplicamos To.[/*][/list]En resumen, la transformación afín que deberemos realizar es:[center][color=#cc0000][size=150]T = T[sub]o[/sub] T[sub]g[/sub] T'[sub]o[/sub] [/size][/color][/center]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]