[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. [/color][br][br]A las transformaciones del espacio del tipo [color=#B45F06]P' = M P[/color] se les conoce como [b]transformaciones lineales[/b] (el sistema conserva el origen), mientras que las transformaciones del tipo [color=#B45F06]P' = M P + O [/color]se les conoce como [b]transformaciones afines[/b] (a la transformación lineal se le añade una traslación del origen).[br][br]Hemos visto que realizar un cambio de base equivale a aplicar a cada punto P del plano una transformación lineal invertible P' = M P, mientras que realizar un cambio de sistema de referencia equivale a aplicar una [color=#cc0000]transformación afín invertible [/color]P' = M P + O (como ya hemos visto, son invertibles, o [i]no singulares[/i], porque [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] son independientes).[br][br]Observa que el nuevo sistema de referencia queda totalmente determinado por las posiciones de O, A, B y C. Es decir, por la imagen de los puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) en la transformación afín.[br][br]Si ahora consideramos los puntos O, A, B y C como los vértices de un tetraedro (cuyo volumen no puede ser nulo, pues [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] son vectores independientes), concluimos que el tetraedro OABC determina la transformación. Observa que la imagen del cubo unidad (con tres aristas en [b]i[/b], [b]j[/b], [b]k[/b]) siempre es un paralelepípedo (con tres aristas en [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]).[br][br]El cambio de sistema de referencia determina, de este modo, además del nuevo origen, la forma del "reticulado espacial". Por ejemplo, cuando el tetraedro sea regular, el reticulado se volverá isométrico.[br][br]En cualquier caso, [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] determinan un paralelepípedo cuyo [color=#cc0000]volumen [/color]viene dado por el valor absoluto del producto mixto [[b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]], que a su vez es el valor absoluto del determinante de M. Este valor es el factor en que se agrandará (si es mayor que 1), conservará (si es igual a 1) o reducirá (si es menor que 1) el volumen de cualquier sólido sometido al cambio de sistema de referencia.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]