[color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/fwpemasd]La fábrica de teselados[/url].[/color][br][/color][br]Para construir el azulejo fundamental del ajedrezado (versión completa) hemos necesitado dos colores. Tal vez haya quien se pregunte cuántos colores como mínimo necesitaremos para pintar el azulejo fundamental de [i]cualquier [/i]teselado. Y tal vez, quien se lo pregunta, recuerde aquello del [url=https://www.geogebra.org/m/NQnmR3CK]Teorema del mapa de cuatro colores[/url]. Como cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa plano, esa es la respuesta buscada.[br][br]Pues no.[br][br]Observa el teselado de la imagen de la izquierda. Efectivamente, tal como garantiza el teorema del mapa de cuatro colores, es fácil usar solo cuatro colores para colorearlo sin que dos regiones adyacentes compartan el mismo color.

Pero eso no quiere decir que basten cuatro colores para pintar el siguiente azulejo de modo que pueda cubrir, mediante traslaciones, el plano:

¿Dónde radica la diferencia? El teorema del mapa de 4 colores no restringe en absoluto "cómo" debe elegirse el color a emplear en cada momento. Sin embargo, la periodicidad provocada por las traslaciones obliga a elegir, para cada región, el mismo color que se había elegido en la traslación anterior. [br][br]Esta restricción es muy fuerte. De hecho, cambia la topología del plano. Al repetir el mismo azulejo arriba y abajo, a izquierda y derecha, estamos imponiendo la condición de que los colores de las regiones superiores no pueden coincidir con las de las regiones inferiores, y los colores de las regiones laterales tampoco. [br][br]Si tomamos un papel y pegamos su lado superior con el inferior, obtenemos un cilindro. Si además pegamos los lados laterales, obtenemos una rosquilla (un dónut, un "toro" dicen los matemáticos). La restricción anterior equivale a realizar el teselado no sobre un plano, sino sobre un toro. Pero el número mínimo de colores (denominado [i][url=https://www.geogebra.org/m/c5zycx9u]número cromático[/url][/i]) para garantizar que se puede colorear bien un mapa [i]cualquiera [/i]dibujado en un toro ya no es 4, sino 7.[br][br]Del mismo modo que el anterior azulejo necesita 5 colores para ser usado en nuestra fábrica de teselados, como se muestra en la siguiente construcción, el azulejo que se muestra después de ella [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation#Tessellations_and_colour]necesitaría 7 colores[/url]. [br]

Entonces, ¿debemos emplear un mínimo de 7 colores en nuestra fábrica? Bueno, teóricamente así debería ser. Pero en la práctica nos bastan 4 para la mayoría de los casos. Tampoco es cuestión de elevar los costes de producción innecesariamente. Hay que buscar un equilibrio sostenible. [br][br]Además, siempre podemos aumentar el número de regiones del azulejo fundamental hasta que sea trasladable. Por ejemplo, el azulejo de 5 colores empleado en la construcción anterior puede reducirse a 4 colores sin más que sustituirlo por el siguiente. Observa que la teselación resultante no variará con ello.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]