Esta actividad tiene su continuación en [url=https://www.geogebra.org/m/xkxqraur]La balanza (enteros)[/url].[br][br]Puedes imaginar una ecuación como un equilibrio entre dos expresiones que se produce para cierto valor desconocido. En la aplicación, hay un valor desconocido X que equilibra los dos platillos de la balanza.[br][br]La actividad se divide en dos partes. En la primera, debes reproducir en la balanza las cantidades que aparecen en la ecuación, ya sean las veces que figura X, ya sea la cantidad de unidades. Si te equivocas, usa el botón "Limpia" para recomenzar.[br][br]En la segunda parte, deberás resolver la ecuación. Para ello, debes elegir una operación (sumar, restar, multiplicar o dividir) y una cantidad (con o sin X). Por ejemplo: restar 5, restar 2x, dividir entre 3.[br][br]Pulsa el botón "Opera" para efectuar la operación elegida. [b]Esa operación se aplicará a los dos platillos de la balanza, es decir, a toda la ecuación.[/b] Si eliges adecuadamente las operaciones, la ecuación se irá simplificando cada vez más hasta dejar aislada la X en uno de los platillos. [br][br]Intenta resolver cada ecuación en el mínimo número de pasos (nunca deberías necesitar más de tres). Cuando termines, pulsa el botón "Nueva ecuación" para intentar resolver otra ecuación.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[/color][br][br]Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que  "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados". Es decir, que el resultado de multiplicar la suma de dos números por su diferencia es el mismo que si restamos los cuadrados de ambos números.[br][br]Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:  [br](a + b) (a - b) = a a - a b + b a - b b = a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup][br][br]Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:  [br](a + b) (a - b) =  a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup]

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[br][br][/color]En esta actividad podrás elegir el sistema lineal (dos ecuaciones del tipo [b]a x + b y = c[/b] o equivalentes) a resolver y el método de resolución, ver sus pasos y comprobar tus resultados. Recuerda que antes de aplicar algún método en tu cuaderno tal vez necesites una preparación previa de cada ecuación, como quitar paréntesis o agrupar y ordenar los términos. [br][br]Recuerda también que gracias a las ecuaciones en ningún momento estás realmente obligado a realizar operaciones con fracciones. En caso de aparecer, puedes convertirlas en enteros multiplicando toda la ecuación por el producto de los denominadores que hubiera, o, si te resulta sencillo calcularlo mentalmente, por su mínimo común múltiplo.[br][br]Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen diferentes métodos básicos. Se suele usar uno u otro dependiendo de la forma en que se nos presente el sistema. Observa que cada ecuación puede interpretarse como la ecuación de una recta en el plano.[br][br]De los tres métodos algebraicos más conocidos (llamados [b]sustitución[/b], [b]igualación[/b] y [b]reducción[/b]), el método de reducción admite su generalización a muchas ecuaciones (método de [b]Gauss[/b]) por lo que es el método más usado en el mundo de las ecuaciones lineales. Su programación es sencilla y permite a los ordenadores hallar rápidamente las soluciones de sistemas con miles de ecuaciones con miles de incógnitas.[br][br]El inconveniente del método de reducción, sin embargo, es que no sirve para resolver otro tipo de sistemas (no lineales). En estos otros sistemas el método más usado es el de [b]sustitución[/b].[br][br]Por otra parte, el método de [b]igualación[/b] se puede considerar un caso particular del de sustitución y generalmente se aplica cuando el sistema está formado por varias funciones en forma explícita, es decir, la variable dependiente ya se encuentra despejada en todas las ecuaciones, en función de la variable independiente, por lo que basta [i]igualar[/i] sus expresiones. Por ejemplo:[br][br][center]e1: y = 3x - 2[/center][center]e2: y = 4x + 5 [/center]Finalmente, además de los métodos algebraicos, existe el método [b]gráfico[/b]. Consiste simplemente en dibujar las rectas y ver en qué punto se cortan. Las coordenadas (x, y) de ese punto serán la solución del sistema. El inconveniente de este método es que no es tan preciso como los métodos algebraicos.[br][br][b]Instrucciones de uso[/b]: Para introducir un nuevo sistema como introduce la primera ecuación en la barra de Entrada con el nombre de [b]e1[/b]. Por ejemplo:[center] e1: 2x - 3y = 3  [/center] (u otra equivalente, como e1: y = 2x/3 -1) y después introduce la segunda ecuación con el nombre de [b]e2[/b], por ejemplo:[center] e2: 3x - y = 1[/center]Notas: [br][br][list][*]Cuando las rectas sean coincidentes o paralelas, o alguna sea horizontal o vertical, la resolución es la misma en todos los casos.[/*][/list][list][*]En caso de introducir coeficientes racionales no enteros, la aplicación mostrará automáticamente una ecuación equivalente con coeficientes enteros.[/*][/list][list][*]Puedes recuperar las ecuaciones introducidas en la barra de Entrada haciendo clic en ella y pulsando las teclas ↑ y ↓. [br][/*][/list]

[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[/color] [br][br]Al resolver un problema con métodos algebraicos, la ecuación que aparece sintetiza la condición que debe cumplir la incógnita, independientemente de las observaciones o razonamientos que hayamos realizado para obtener esa condición.[br][br]En esta aplicación puedes ver un ejemplo de un problema observado desde [b]tres puntos de vista diferentes[/b]. Sin embargo, [b]la ecuación resultante será siempre la misma[/b], pues condensa la condición que debe cumplir la incógnita. [br][br]El enunciado del problema es el siguiente:[br][center][color=#cc0000][i]El rectángulo azul de la figura mide 80 m de largo y 32 m de ancho. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo rojo?[/i] [/color][/center]Observa que la clave para resolver el problema está en hallar el valor de [i]x[/i]. Una vez conocido [i]x[/i], es fácil determinar las longitudes de los lados del rectángulo rojo.[br][br]Primero, intenta resolver el problema a tu manera. Después, sigue las instrucciones de más abajo para resolverlo de tres modos distintos (pero con la misma ecuación).

4. Comprueba que las soluciones de esa ecuación son 16 m y 64 m. Activa la casilla [color=#0000ff]Solución simétrica[/color] para ver el rectángulo rojo correspondiente a la segunda solución.

6. Sabiendo ahora que [i]x[/i] vale 16 m, resuelve finalmente el problema: comprueba que los lados del rectángulo rojo miden [math]32\sqrt{5}[/math] y [math]16\sqrt{5}[/math] metros.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/hnwezk2s]Ecuaciones y Sistemas[/url].[/color] [br][br]Puedes usar esta construcción para visualizar la región factible correspondiente a un sistema de inecuaciones. El número máximo de inecuaciones es 10.[br][br]Modifica a tu gusto los datos que aparecen en la Hoja de Cálculo. [b]Comienza fijando el número de inecuaciones[/b] ya que si, por ejemplo, fijas 5 ecuaciones, la construcción solo tendrá en cuenta las inecuaciones presentes en las 5 primeras filas de la Hoja de Cálculo.[br][br][b]Nota importante[/b]: si en alguna inecuación no aparece la variable [b]x[/b] o la variable [b]y[/b], escríbelas de todos modos asignándoles un coeficiente 0.[br][br]Las casillas de la columna D te ayudarán a visualizar solo aquellos elementos que desees.[br][br]Las esquinas de la Vista Gráfica se ajustan automáticamente para permitir la visualización de todos los semiplanos. Si las deseas ajustar manualmente, haz clic derecho sobre la Vista Gráfica y cambia los valores presentes en las dimensiones.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/edby4fdr]Variable compleja[/url].[/color][br][br]El teorema fundamental del álgebra, además de importante, es uno de los más bellos, por su simpleza. Dice que [color=#cc0000]todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. [color=#000000]De este resultado se puede deducir fácilmente que [color=#cc0000]todo polinomio[/color] [/color]de grado [i]n[/i] tiene exactamente [i]n[/i] raíces[/color]. [br][br]Ahora bien, el teorema se refiere a funciones polinómicas en los que el cuerpo numérico no es [math]\mathbb{R}[/math] sino [math]\mathbb{C}[/math], es decir, polinomios con coeficientes y raíces complejas. Esto es un inconveniente a la hora de representar esas [i]n[/i] raíces, ya que necesitaríamos un espacio de cuatro dimensiones. Pero podemos usar un truco: restringir la función compleja, quedándonos solo con el dominio cuyas imágenes sean reales. Así, en vez de una función [math]f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}[/math], tendremos una función[math]f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], cuya gráfica ya se puede representar en 3D, usando el eje Z como eje imaginario ([math]f:XZ\longrightarrow Y[/math]).[br][br]Por ejemplo, sea [color=#cc0000]y = f(x) = x[sup]2[/sup] - 2x + 2[/color]. En variable compleja se convierte en: [color=#cc0000]y = f(x + z [i]i[/i]) = (x + z [i]i[/i])[sup]2[/sup] -2(x + z [i]i[/i]) + 2[/color], cuya parte imaginaria es 2z(x -1). [color=#0000ff]Si igualamos esta parte a cero[/color], nos aseguramos que la imagen de f sea real. En este ejemplo, eso solo pasa cuando z vale 0 o cuando x vale 1. [br][br]En el primer caso, z=0, obtenemos la función de variable real cuya gráfica ya conocemos (en color azul sobre el plano gris XY). En el segundo, x=1, basta sustituir este valor en la expresión de f para obtener la curva [color=#cc0000](1, 1-z[sup]2[/sup], z)[/color], con [math]z\in\mathbb{R}[/math] (en color rojo).[br][br]Las raíces complejas (puntos amarillos en la Vista 3D) son las intersecciones de esas dos curvas con el plano azul XZ (los puntos con [color=#cc0000]y = f(x + z [i]i[/i]) = 0[/color]). Lo que hace el comando [color=#0000ff][i]RaízC[/i] [/color]de GeoGebra es trasladar esos puntos desde el plano complejo XZ al plano real XY (puntos amarillos en la Vista 2D).[br][br]También podemos seguir el mismo procedimiento para crear la superficie que representa a los números complejos [color=#cc0000]x + z [i]i[/i][/color] tales que su parte imaginaria esté en un intervalo real (en la construcción, ese intervalo va de -5 a 5, es decir, [color=#cc0000]y = f(x + z [i]i[/i]) = a + b [/color][color=#cc0000][i]i[/i][/color] , [math]b\in\left[-5,5\right][/math]).[br][br][color=#999999]Nota: Observa que, en general, la curva roja no es una curva plana, al contrario de lo que ocurre con la curva azul. El método que hemos seguido para visualizar las raíces complejas se pueda aplicar también a otras funciones (polinómicas o no), mientras sea posible calcular la expresión que anula la parte imaginaria de la imagen de la función (es decir, el método queda supeditado al cálculo de raíces reales). A veces, esta expresión tiene doble signo debido a la aparición de raíces cuadradas.[/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]